北京理工大學(xué)課題組在拓?fù)湮飸B(tài)研究方面取得重要進(jìn)展
發(fā)布日期：2023-02-27 供稿：物理學(xué)院 攝影：物理學(xué)院
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日前，北京理工大學(xué)物理學(xué)院張向東教授課題組和集成電路與電子學(xué)院孫厚軍教授課題組合作,，在非歐幾何拓?fù)鋺B(tài)和拓?fù)潆娐费芯糠矫嫒〉弥匾M(jìn)展,。相關(guān)工作在Nature Communications上發(fā)表[Nat Commun (2023) 14:1083],。北京理工大學(xué)物理學(xué)院張蔚暄研究員和2022級(jí)博士生邸鳳瀟為論文的共同第一作者，張向東教授為通訊作者,。研究工作得到了國(guó)家自然科學(xué)基金委和國(guó)家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃的資助,。
拓?fù)淠軒Ю碚摓槊枋隽孔雍徒?jīng)典系統(tǒng)的拓?fù)鋵傩蕴峁┝私y(tǒng)一的理論框架。最典型的例子是定義在二維動(dòng)量空間的陳數(shù)(Chern number),，其是量子霍爾效應(yīng),、量子反常霍爾態(tài),，外爾半金屬Weyl等拓?fù)湮飸B(tài)的衡量標(biāo)準(zhǔn),。另外,，在2n維流形中定義的n階陳數(shù)，可以衡量高維空間的拓?fù)湮飸B(tài),。如具有非平庸二階陳數(shù)的四維量子霍爾態(tài)和五維楊單極子,。除了陳數(shù)以外，拓?fù)淠軒Ю碚撨€在非厄米,、非阿貝爾以及高階拓?fù)涞认到y(tǒng)中得到了廣泛的應(yīng)用,。迄今為止，拓?fù)淠軒Ю碚撝饕腔跉W幾里德空間的布洛赫定理構(gòu)建的,，其位置和動(dòng)量空間具有一致的維度,。如何在非歐幾里得空間中構(gòu)造拓?fù)淠軒Ю碚摚沂痉菤W幾里得空間的體-邊對(duì)應(yīng)關(guān)系,，是有待解決的重要問(wèn)題,。
近期，具有常數(shù)負(fù)曲率的雙曲晶格模型引起了人們廣泛的關(guān)注,。研究人員利用共面波導(dǎo)諧振器[Nature 571, 45 (2019)]和人工經(jīng)典電路[Nat. Commun. 13, 4373 (2022)]實(shí)現(xiàn)了對(duì)雙曲晶格的有效模擬,。隨后在雙曲晶格系統(tǒng)中，邊界統(tǒng)治的量子反?；魻枒B(tài)和高階拓?fù)浣菓B(tài)也被發(fā)現(xiàn)并在拓?fù)潆娐菲脚_(tái)被實(shí)現(xiàn)[Nat. Commun. 13, 2937 (2022)],。由于缺乏空間平移對(duì)稱(chēng)性，雙曲拓?fù)鋺B(tài)無(wú)法利用動(dòng)量空間定義的拓?fù)洳蛔兞縼?lái)衡量,，其只能通過(guò)位置空間的拓?fù)洳蛔兞縼?lái)描述,。
雙曲能帶理論的提出，為構(gòu)建非歐幾里得空間的拓?fù)淠軒Ю碚搸?lái)了曙光[Sci. Adv. 7, eabe9170 (2021)],。研究人員發(fā)現(xiàn)多種類(lèi)型的雙曲晶格滿(mǎn)足Fuchsian平移對(duì)稱(chēng)群,。該對(duì)稱(chēng)群是非阿貝爾平移群，具有一維和高維的群表示,。有趣的是,，人們發(fā)現(xiàn)通過(guò)設(shè)計(jì)有限尺寸雙曲晶格的周期性邊界條件，系統(tǒng)高維群表示所對(duì)應(yīng)的本征態(tài)可以完全消失,，使其可以被U(1)雙曲能帶理論精確描述[Proc. Natl Acad. Sci. USA 119, e2116869119 (2022)],。另外,，由于Fuchsian平移對(duì)稱(chēng)群的非阿貝爾特性,，二維雙曲晶格的動(dòng)量空間是高維環(huán)曲面，其與高維歐幾里得空間的動(dòng)量空間相對(duì)應(yīng),。這一新奇的性質(zhì)引發(fā)重要的問(wèn)題：能否在二維雙曲晶格系統(tǒng)中,，構(gòu)建具有高階拓?fù)洳蛔兞康碾p曲拓?fù)鋺B(tài)？在實(shí)驗(yàn)上又該如何觀察具有高階拓?fù)洳蛔兞康男缕骐p曲拓?fù)鋺B(tài),？
研究亮點(diǎn)之一：理論構(gòu)建具有二階陳數(shù)的雙曲能帶拓?fù)鋺B(tài)
研究人員考慮具有{8,8}布拉維晶格的雙曲模型,，其具有四維動(dòng)量空間的性質(zhì),，如圖1a所示。原包內(nèi)部的四個(gè)子格點(diǎn)具有不同的在位能,。沿著四個(gè)動(dòng)量方向的包間耦合顯示在圖1b中,。圖1c-1e展示了不同在位能下，雙曲晶格模型的能帶結(jié)構(gòu)(k1=k4=0)和拓?fù)洳蛔兞??？梢钥吹酵ㄟ^(guò)調(diào)節(jié)在位能的大小，雙曲能帶從半金屬態(tài)(圖1c)過(guò)渡到具有非零二階陳數(shù)(圖1d)和非零陳數(shù)(圖1e)的雙曲拓?fù)鋺B(tài),。
圖1 具有非平庸二階陳數(shù)的雙曲晶格模型
為了研究非平庸雙曲晶格的邊界態(tài),，研究人員構(gòu)建了具有12個(gè)原包的有限雙曲模型。12個(gè)原包的具體位置在圖1a被字母標(biāo)記(‘a(chǎn)’到‘l’),。圖2a和2b顯示的是利用直接對(duì)角化和雙曲能帶理論計(jì)算的有限周期雙曲晶格的本征能譜,。可以看到兩者完全吻合,，證明了雙曲能帶理論的有效性,。具有非平庸二階(圖2a)和一階(圖2b)陳數(shù)的拓?fù)鋷队瞄冱S色的區(qū)域標(biāo)記出來(lái)，而藍(lán)色區(qū)域?qū)?yīng)平庸帶隙,。圖2c和2d分別顯示了具有非平庸二階和一階陳數(shù)的有限雙曲周期晶格的體模式分布圖,。為了觀察雙曲拓?fù)湔T導(dǎo)的邊界態(tài)，研究人員進(jìn)一步構(gòu)建了具有部分周期邊界條件的雙曲晶格模型,，其本征能譜顯示在圖2e和2f中,。可以清楚的看到,，具有非零二階(圖2e)和一階(圖2f)陳數(shù)的帶隙中出現(xiàn)了邊界局域態(tài),，而平庸帶隙中沒(méi)有邊界態(tài)產(chǎn)生。二階和一階陳數(shù)誘導(dǎo)的邊界態(tài)空間分布顯示在圖2g和2e中,。上述結(jié)果清晰的顯示,，具有非平庸二階(和一階)陳數(shù)的雙曲帶隙中存在雙曲拓?fù)溥吔鐟B(tài)。
圖2 具有12個(gè)原包的有限尺寸雙曲拓?fù)淠Ｐ?/span>
研究亮點(diǎn)之二：基于拓?fù)潆娐酚^察具有二階陳數(shù)的雙曲能帶拓?fù)鋺B(tài)
基于凝聚態(tài)晶格模型與電子線(xiàn)路網(wǎng)絡(luò)的一致性,，研究人員設(shè)計(jì)并制備了雙曲電路網(wǎng)絡(luò)(如圖3a所示)實(shí)驗(yàn)上觀察二階陳數(shù)誘導(dǎo)的雙曲拓?fù)溥吔鐟B(tài),。圖3b顯示了對(duì)應(yīng)于有效復(fù)數(shù)耦合的電路結(jié)構(gòu)圖。需要強(qiáng)調(diào)的是,，與之前的平面雙曲電路不同,，具有周期邊界的有限尺寸雙曲晶格具有大量的非面內(nèi)長(zhǎng)程耦合。首先,，研究人員對(duì)具有周期邊界的有限雙曲電路進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)測(cè)量,。圖3c和3d顯示了實(shí)驗(yàn)測(cè)得的電路本征能譜，其中非平庸和平庸的帶隙分別被橘黃色和藍(lán)色區(qū)域標(biāo)記,?？梢郧逦目吹骄哂卸A和一階陳數(shù)的雙曲電路頻譜與晶格模型能譜具有很好的一致性,。圖3e和3f以及3g和3h分別對(duì)應(yīng)實(shí)驗(yàn)測(cè)量和理論仿真的電路阻抗結(jié)果。結(jié)果顯示對(duì)應(yīng)能隙的頻率范圍沒(méi)有阻抗峰,，表明雙曲體帶帶隙的存在,。圖3i(二階陳數(shù))和3j(一階陳數(shù))展示的是體態(tài)對(duì)應(yīng)頻率下的電路阻抗分布圖?？梢钥闯銎渑c雙曲晶格模型中的本征態(tài)概率幅分布完全一致,。
圖3 具有周期邊界條件的有限雙曲電路實(shí)驗(yàn)結(jié)果
進(jìn)一步，研究人員對(duì)具有部分開(kāi)邊界的雙曲電路樣品進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)測(cè)量,。圖4a和4d以及4b和4e分別對(duì)應(yīng)實(shí)驗(yàn)測(cè)量和理論仿真的電路阻抗結(jié)果,。可以看到雙曲電路的邊界格點(diǎn)在具有非零二階(圖4a和4b)以及一階(圖4d和4e)陳數(shù)的帶隙區(qū)域具有顯著的阻抗響應(yīng),，而在平庸帶隙沒(méi)有阻抗峰值,。圖4c和4f進(jìn)一步顯示了邊界態(tài)所對(duì)應(yīng)頻率下的電路阻抗分布圖?？梢郧宄目吹?，具有非零二階和一階陳數(shù)的雙曲拓?fù)鋷吨写嬖谶吔鐟B(tài)，其空間分布與理論模型完全一致,。
圖4 具有部分周期邊界條件的有限雙曲電路實(shí)驗(yàn)結(jié)果
該工作揭示了二維雙曲晶格中,，具有定義在四維動(dòng)量空間的二階陳數(shù)誘導(dǎo)的新奇雙曲拓?fù)鋺B(tài)。與先前基于二維拓?fù)浔闷趾头蔷植侩娐愤B接來(lái)實(shí)現(xiàn)四維量子霍爾效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)不同,，該工作動(dòng)量空間的維度擴(kuò)展完全源于負(fù)曲率空間Fuchsian平移群的非阿貝爾特性,。另外，基于其它四維拓?fù)鋺B(tài)的哈密頓量來(lái)反向設(shè)計(jì)二維雙曲晶格模型,，可以理論揭示更多新奇的雙曲物態(tài),。更高維度的動(dòng)量空間(例如{12,12}和{16,16}對(duì)應(yīng)于六維和八維動(dòng)量空間)也可以在二維雙曲晶格被實(shí)現(xiàn)，其為探索高維度能帶拓?fù)鋺B(tài)提供了新的途徑,。
論文鏈接：https://www.nature.com/articles/s41467-023-36767-8
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