北理工課題組在拓?fù)湮飸B(tài)研究方面取得重要進(jìn)展
發(fā)布日期：2022-05-27 供稿：物理學(xué)院
編輯：王莉蓉 審核：姜艷 閱讀次數(shù)：
日前,，北京理工大學(xué)物理學(xué)院張向東教授課題組和集成電路與電子學(xué)院孫厚軍教授課題組合作,，在基于經(jīng)典電路實(shí)現(xiàn)非歐幾何拓?fù)鋺B(tài)研究方面取得重要進(jìn)展。相關(guān)研究成果發(fā)表在近期的Nature Communications (13, 2937(2022))上,，研究工作得到了國家自然科學(xué)基金委和國家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃的資助,。北京理工大學(xué)物理學(xué)院張蔚暄博士(現(xiàn)集成電路與電子學(xué)院特立博士后)和袁昊博士(2020級)為論文的共同第一作者。
探索新奇的拓?fù)湮飸B(tài)是物理學(xué)領(lǐng)域中引人入勝的研究方向之一,。自1980年整數(shù)量子霍爾效應(yīng)被發(fā)現(xiàn)以來,，大量不同類別的拓?fù)湮飸B(tài)被相繼提出。新奇的拓?fù)湮飸B(tài)可以存在于性質(zhì)完全不同的系統(tǒng)中,，包括從量子到經(jīng)典,，從低維到高維，從厄米到非厄米,，從周期到無序,，從線性到非線性，從靜態(tài)到動態(tài),，從單體到多體等,。迄今為止，絕大部分拓?fù)湮飸B(tài)都是在具有零曲率的歐幾里得空間中被發(fā)現(xiàn)的,。對于非歐幾里得空間中拓?fù)湮飸B(tài)的研究少之又少,。實(shí)驗(yàn)觀察非歐幾何空間中的拓?fù)湮飸B(tài)更是從來都沒有被報(bào)道過。
對于非歐幾何的理論研究最早可以追述到1792年,，當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界首屈一指的巨匠高斯就已經(jīng)產(chǎn)生了非歐幾何思想的萌芽,，到1817年已經(jīng)達(dá)到了較為成熟的程度。他最初把這種新幾何稱為“反歐幾何”,，最后改為“非歐幾何”,。 非歐幾何在自然界中廣泛存在，并在許多不同的研究領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用，例如數(shù)學(xué)研究中的黎曼幾何,、理論物理學(xué)中的Ads/CFT全息原理,、以及愛因斯坦的廣義相對論等。最近,，研究人員利用共面波導(dǎo)諧振器實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)了雙曲晶格對應(yīng)的材料模型,。需要指出的是雙曲晶格是非歐幾里得空間中一類非常重要的晶格模型，其對應(yīng)于常數(shù)負(fù)曲率空間中的正多邊形晶格平鋪結(jié)構(gòu),。該實(shí)驗(yàn)極大推動了人們對于雙曲晶格不同物理特性的理論研究,，包括雙曲能帶理論和雙曲晶體學(xué)等。雙曲晶格與歐氏晶格最重要的區(qū)別是：雙曲晶格邊界格點(diǎn)的數(shù)目接近甚至大于體內(nèi)格點(diǎn)的數(shù)目,，并且這一關(guān)系在熱力學(xué)極限下仍然成立,。另一方面，根據(jù)體邊界對應(yīng)原理,，拓?fù)湮飸B(tài)通常具有新奇的邊界響應(yīng),。因此一個(gè)有趣的問題是：能否將雙曲晶格和拓?fù)湮飸B(tài)獨(dú)特的邊界性質(zhì)相結(jié)合，在雙曲空間中構(gòu)造出不同于歐氏幾何拓?fù)鋺B(tài)的雙曲拓?fù)鋺B(tài),。如果雙曲拓?fù)鋺B(tài)存在,，在實(shí)驗(yàn)上又該如何觀察這些新奇的拓?fù)湮飸B(tài)？
研究亮點(diǎn)之一：邊界統(tǒng)治的雙曲反常量子霍爾效應(yīng)及電路實(shí)現(xiàn),。
圖1. 邊界統(tǒng)治的雙曲反常量子霍爾效應(yīng),。
為了探究雙曲幾何和拓?fù)溥吔鐟B(tài)的相互作用，研究人員首先將Haldane模型直接推廣到{6,4}雙曲晶格系統(tǒng)中,，如圖1a-1c所示,。簡單來講，就是在{6,4}雙曲晶格的每一個(gè)六邊形結(jié)構(gòu)中,，都引入實(shí)數(shù)最近鄰耦合和復(fù)數(shù)次近鄰耦合。新生成的模型被稱為雙曲Haldane模型,。通過直接數(shù)值對角化的方法,，可以求得有限{6,4}雙曲Haldane模型的本征能譜和相應(yīng)的本征態(tài)分布，如圖1d和1e所示,?？梢郧逦目吹剑芰繛榱愀浇谋菊鲬B(tài)為雙曲邊界態(tài),。為了進(jìn)一步證明雙曲邊界態(tài)的拓?fù)鋵傩?，研究人員計(jì)算了實(shí)空間Chern數(shù)，如圖1f所示,?？梢钥吹诫p曲邊界態(tài)能譜所對應(yīng)的實(shí)空間Chern數(shù)具有非平庸的拓?fù)淦脚_，說明其具有類似于反常量子霍爾效應(yīng)的拓?fù)鋵傩浴６鴮?shí)空間Chern數(shù)沒有達(dá)到1是由于有限的格點(diǎn)數(shù)目導(dǎo)致的,。進(jìn)一步利用耦合模方程,，研究人員研究了雙曲邊界態(tài)的單向拓?fù)鋫鬏斕匦裕鐖D1g所示,?？梢郧逦目吹剑p曲拓?fù)溥吔鐟B(tài)可以繞過缺陷單向傳輸,。相比于歐氏空間的量子反?；魻栠吔鐟B(tài)，雙曲拓?fù)溥吔鐟B(tài)具有顯著增強(qiáng)的邊界響應(yīng),，即拓?fù)鋫鬏數(shù)耐ǖ?邊界點(diǎn))數(shù)目大于或近似等于體內(nèi)格點(diǎn)的數(shù)目,。這一新奇的特性為設(shè)計(jì)高效的拓?fù)淦骷峁┝诵碌耐緩健?/p>
圖2. 基于雙曲電路網(wǎng)絡(luò)，實(shí)驗(yàn)觀察雙曲反常量子霍爾效應(yīng),。
基于凝聚態(tài)晶格模型與電子線路網(wǎng)路的一致性,，研究人員設(shè)計(jì)并制備了雙曲電路(如圖2a所示)來觀察邊界統(tǒng)治的雙曲量子反常霍爾效應(yīng),。圖2b和2c分別對應(yīng)實(shí)驗(yàn)測量和理論仿真的電路阻抗結(jié)果,。電路格點(diǎn)的阻抗響應(yīng)對應(yīng)于雙曲量子模型的局域態(tài)密度?？梢钥吹?，雙曲體點(diǎn)在紅色區(qū)域內(nèi)沒有阻抗峰值，表明存在雙曲體帶帶隙,。同時(shí),，雙曲電路的邊界格點(diǎn)在該帶隙中存在顯著的阻抗峰值，表明拓?fù)溥吔鐟B(tài)的存在,。圖2d展示的是邊界態(tài)所對應(yīng)頻率下的電路阻抗分布圖,。可以看出其與雙曲晶格模型中的拓?fù)溥吘墤B(tài)的概率幅分布完全一致,。進(jìn)一步,，研究人員通過測量電壓波包在雙曲電路網(wǎng)路中的時(shí)域特性，清晰地證明了邊界統(tǒng)治的雙曲邊界電壓傳輸,，如圖2e-2j所示,。
研究亮點(diǎn)之二：具有分形特點(diǎn)的高階雙曲零能角態(tài)及實(shí)驗(yàn)觀測。
圖3. 具有分形特點(diǎn)的高階雙曲零能角態(tài)
除了一階雙曲量子反?；魻栠吔鐟B(tài),，研究人員進(jìn)一步研究了雙曲晶格中的高階零能角態(tài)。所設(shè)計(jì)的雙曲晶格模型顯示在圖3a中,，即在{6,4}雙曲晶格中引入二值化(黑線和粉線)的層內(nèi)和層間最近鄰耦合,。當(dāng)最外層的耦合強(qiáng)度對應(yīng)于弱耦合時(shí)，高階角態(tài)就會產(chǎn)生。需要指出的是,，不同于歐氏空間中0維角點(diǎn)的幾何特性,，雙曲晶格的有效0維角點(diǎn)對應(yīng)于具有不同耦合方式的最外層格點(diǎn)間的有效界面(如圖3i所示)。圖3b和3c展示了利用數(shù)值對角化方法計(jì)算的雙曲能譜和相應(yīng)本征態(tài)的空間分布,?？梢钥吹诫p曲零能模的概率分布局域在最外層的0維格點(diǎn)上，展現(xiàn)了高階拓?fù)浣菓B(tài)的特性,。同時(shí),，除了零能模，在另外兩個(gè)能量附近也存在雙曲高階角態(tài),?？梢园l(fā)現(xiàn)與歐氏空間的高階角態(tài)性質(zhì)相似，雙曲高階角態(tài)也總是出現(xiàn)在雙曲邊界態(tài)的帶隙中,。研究人員從三個(gè)方面進(jìn)一步對高階零模的拓?fù)湫再|(zhì)進(jìn)行了證明,。首先，通過改變二值化耦合強(qiáng)度的相對關(guān)系,，雙曲能譜發(fā)生了帶隙閉合再打開的過程,。同時(shí)，該過程伴隨著雙曲高階零能模從無到有的變化過程,，是拓?fù)湎嘧兊闹匾卣?。其次，雙曲高階拓?fù)鋺B(tài)具有與C6-高階拓?fù)浣^緣體相同的拓?fù)湎嘧兲攸c(diǎn),。最后,，通過引入無序可以發(fā)現(xiàn)雙曲高階零能角態(tài)具有很強(qiáng)的魯棒性，這與雙曲晶格中由干涉引起的局域化效應(yīng)顯著不同,。另外研究人員計(jì)算了不同尺寸下的雙曲能譜和本征態(tài)的分布,，如圖3d-3g所示。圖3h給出了雙曲零能模的數(shù)量與雙曲晶格尺寸的關(guān)系,?？梢钥吹酵ㄟ^增大雙曲晶格的尺寸，雙曲零能模式的數(shù)量也急劇增加,。該現(xiàn)象與分形幾何結(jié)構(gòu)中的高階拓?fù)浣菓B(tài)相似,。需要強(qiáng)調(diào)的是,，這一新奇的現(xiàn)象是源于雙曲晶格獨(dú)特的邊界響應(yīng),，即邊界格點(diǎn)的數(shù)目隨雙曲晶格層數(shù)的增加而呈現(xiàn)指數(shù)增長的趨勢，使得邊界有效0維角點(diǎn)也具有指數(shù)增長的特點(diǎn),。
為了在實(shí)驗(yàn)上觀察雙曲高階零能角態(tài),，研究人員設(shè)計(jì)并制備了相應(yīng)的雙曲電路網(wǎng)絡(luò)，如圖4a所示。圖4b和4c分別對應(yīng)實(shí)驗(yàn)測量和理論仿真的電路阻抗結(jié)果,?？梢钥吹诫p曲晶格的邊界點(diǎn)在藍(lán)色區(qū)域所對應(yīng)的頻率范圍內(nèi)有顯著的阻抗峰值，而體點(diǎn)在相應(yīng)頻率范圍沒有阻抗響應(yīng),，表明雙曲邊界態(tài)存在于雙曲體態(tài)的帶隙中,。同時(shí)雙曲晶格的角點(diǎn)在紅色區(qū)域內(nèi)有顯著的阻抗峰值，而邊界格點(diǎn)在該頻率范圍沒有阻抗峰值,。這一現(xiàn)象表明雙曲高階角態(tài)存在于雙曲邊界態(tài)的帶隙中,。為了進(jìn)一步展現(xiàn)不同雙曲高階角態(tài)的空間分布，研究人員對電路的導(dǎo)納矩陣進(jìn)行了重構(gòu),，并利用重構(gòu)的導(dǎo)納矩陣得到了不同雙曲高階角態(tài)的空間分布圖,，如圖4d所示?？梢钥闯鰷y得的高階角態(tài)分布與雙曲晶格模型的結(jié)果完全一致,。
圖4. 基于雙曲電路網(wǎng)絡(luò)，實(shí)驗(yàn)觀察高階雙曲零能模,。
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