北理工課題組在拓?fù)湮飸B(tài)研究方面取得重要進(jìn)展
發(fā)布日期：2022-05-27 供稿：物理學(xué)院
編輯：王莉蓉 審核：姜艷 閱讀次數(shù)：
日前，北京理工大學(xué)物理學(xué)院張向東教授課題組和集成電路與電子學(xué)院孫厚軍教授課題組合作,，在基于經(jīng)典電路實(shí)現(xiàn)非歐幾何拓?fù)鋺B(tài)研究方面取得重要進(jìn)展。相關(guān)研究成果發(fā)表在近期的Nature Communications (13, 2937(2022))上,，研究工作得到了國(guó)家自然科學(xué)基金委和國(guó)家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃的資助,。北京理工大學(xué)物理學(xué)院張蔚暄博士(現(xiàn)集成電路與電子學(xué)院特立博士后)和袁昊博士(2020級(jí))為論文的共同第一作者。
探索新奇的拓?fù)湮飸B(tài)是物理學(xué)領(lǐng)域中引人入勝的研究方向之一。自1980年整數(shù)量子霍爾效應(yīng)被發(fā)現(xiàn)以來(lái),，大量不同類(lèi)別的拓?fù)湮飸B(tài)被相繼提出,。新奇的拓?fù)湮飸B(tài)可以存在于性質(zhì)完全不同的系統(tǒng)中，包括從量子到經(jīng)典,，從低維到高維,，從厄米到非厄米，從周期到無(wú)序,，從線性到非線性,，從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)，從單體到多體等,。迄今為止,，絕大部分拓?fù)湮飸B(tài)都是在具有零曲率的歐幾里得空間中被發(fā)現(xiàn)的。對(duì)于非歐幾里得空間中拓?fù)湮飸B(tài)的研究少之又少,。實(shí)驗(yàn)觀察非歐幾何空間中的拓?fù)湮飸B(tài)更是從來(lái)都沒(méi)有被報(bào)道過(guò),。
對(duì)于非歐幾何的理論研究最早可以追述到1792年，當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界首屈一指的巨匠高斯就已經(jīng)產(chǎn)生了非歐幾何思想的萌芽,，到1817年已經(jīng)達(dá)到了較為成熟的程度,。他最初把這種新幾何稱(chēng)為“反歐幾何”，最后改為“非歐幾何”,。 非歐幾何在自然界中廣泛存在,，并在許多不同的研究領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用，例如數(shù)學(xué)研究中的黎曼幾何,、理論物理學(xué)中的Ads/CFT全息原理,、以及愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論等。最近,，研究人員利用共面波導(dǎo)諧振器實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)了雙曲晶格對(duì)應(yīng)的材料模型,。需要指出的是雙曲晶格是非歐幾里得空間中一類(lèi)非常重要的晶格模型，其對(duì)應(yīng)于常數(shù)負(fù)曲率空間中的正多邊形晶格平鋪結(jié)構(gòu),。該實(shí)驗(yàn)極大推動(dòng)了人們對(duì)于雙曲晶格不同物理特性的理論研究,，包括雙曲能帶理論和雙曲晶體學(xué)等。雙曲晶格與歐氏晶格最重要的區(qū)別是：雙曲晶格邊界格點(diǎn)的數(shù)目接近甚至大于體內(nèi)格點(diǎn)的數(shù)目,，并且這一關(guān)系在熱力學(xué)極限下仍然成立,。另一方面，根據(jù)體邊界對(duì)應(yīng)原理,，拓?fù)湮飸B(tài)通常具有新奇的邊界響應(yīng)。因此一個(gè)有趣的問(wèn)題是：能否將雙曲晶格和拓?fù)湮飸B(tài)獨(dú)特的邊界性質(zhì)相結(jié)合,，在雙曲空間中構(gòu)造出不同于歐氏幾何拓?fù)鋺B(tài)的雙曲拓?fù)鋺B(tài),。如果雙曲拓?fù)鋺B(tài)存在，在實(shí)驗(yàn)上又該如何觀察這些新奇的拓?fù)湮飸B(tài),？
研究亮點(diǎn)之一：邊界統(tǒng)治的雙曲反常量子霍爾效應(yīng)及電路實(shí)現(xiàn),。
圖1. 邊界統(tǒng)治的雙曲反常量子霍爾效應(yīng),。
為了探究雙曲幾何和拓?fù)溥吔鐟B(tài)的相互作用，研究人員首先將Haldane模型直接推廣到{6,4}雙曲晶格系統(tǒng)中,，如圖1a-1c所示,。簡(jiǎn)單來(lái)講，就是在{6,4}雙曲晶格的每一個(gè)六邊形結(jié)構(gòu)中,，都引入實(shí)數(shù)最近鄰耦合和復(fù)數(shù)次近鄰耦合,。新生成的模型被稱(chēng)為雙曲Haldane模型。通過(guò)直接數(shù)值對(duì)角化的方法,，可以求得有限{6,4}雙曲Haldane模型的本征能譜和相應(yīng)的本征態(tài)分布,，如圖1d和1e所示?？梢郧逦目吹?，能量為零附近的本征態(tài)為雙曲邊界態(tài)。為了進(jìn)一步證明雙曲邊界態(tài)的拓?fù)鋵傩?，研究人員計(jì)算了實(shí)空間Chern數(shù),，如圖1f所示?？梢钥吹诫p曲邊界態(tài)能譜所對(duì)應(yīng)的實(shí)空間Chern數(shù)具有非平庸的拓?fù)淦脚_(tái),，說(shuō)明其具有類(lèi)似于反常量子霍爾效應(yīng)的拓?fù)鋵傩浴６鴮?shí)空間Chern數(shù)沒(méi)有達(dá)到1是由于有限的格點(diǎn)數(shù)目導(dǎo)致的,。進(jìn)一步利用耦合模方程,，研究人員研究了雙曲邊界態(tài)的單向拓?fù)鋫鬏斕匦裕鐖D1g所示,?？梢郧逦目吹剑p曲拓?fù)溥吔鐟B(tài)可以繞過(guò)缺陷單向傳輸,。相比于歐氏空間的量子反?；魻栠吔鐟B(tài)，雙曲拓?fù)溥吔鐟B(tài)具有顯著增強(qiáng)的邊界響應(yīng),，即拓?fù)鋫鬏數(shù)耐ǖ?邊界點(diǎn))數(shù)目大于或近似等于體內(nèi)格點(diǎn)的數(shù)目,。這一新奇的特性為設(shè)計(jì)高效的拓?fù)淦骷峁┝诵碌耐緩健?/p>
圖2. 基于雙曲電路網(wǎng)絡(luò)，實(shí)驗(yàn)觀察雙曲反常量子霍爾效應(yīng),。
基于凝聚態(tài)晶格模型與電子線路網(wǎng)路的一致性,，研究人員設(shè)計(jì)并制備了雙曲電路(如圖2a所示)來(lái)觀察邊界統(tǒng)治的雙曲量子反常霍爾效應(yīng),。圖2b和2c分別對(duì)應(yīng)實(shí)驗(yàn)測(cè)量和理論仿真的電路阻抗結(jié)果,。電路格點(diǎn)的阻抗響應(yīng)對(duì)應(yīng)于雙曲量子模型的局域態(tài)密度。可以看到,，雙曲體點(diǎn)在紅色區(qū)域內(nèi)沒(méi)有阻抗峰值,，表明存在雙曲體帶帶隙。同時(shí),，雙曲電路的邊界格點(diǎn)在該帶隙中存在顯著的阻抗峰值,，表明拓?fù)溥吔鐟B(tài)的存在。圖2d展示的是邊界態(tài)所對(duì)應(yīng)頻率下的電路阻抗分布圖,?？梢钥闯銎渑c雙曲晶格模型中的拓?fù)溥吘墤B(tài)的概率幅分布完全一致。進(jìn)一步,，研究人員通過(guò)測(cè)量電壓波包在雙曲電路網(wǎng)路中的時(shí)域特性,，清晰地證明了邊界統(tǒng)治的雙曲邊界電壓傳輸，如圖2e-2j所示,。
研究亮點(diǎn)之二：具有分形特點(diǎn)的高階雙曲零能角態(tài)及實(shí)驗(yàn)觀測(cè),。
圖3. 具有分形特點(diǎn)的高階雙曲零能角態(tài)
除了一階雙曲量子反常霍爾邊界態(tài),，研究人員進(jìn)一步研究了雙曲晶格中的高階零能角態(tài),。所設(shè)計(jì)的雙曲晶格模型顯示在圖3a中，即在{6,4}雙曲晶格中引入二值化(黑線和粉線)的層內(nèi)和層間最近鄰耦合,。當(dāng)最外層的耦合強(qiáng)度對(duì)應(yīng)于弱耦合時(shí),，高階角態(tài)就會(huì)產(chǎn)生。需要指出的是,，不同于歐氏空間中0維角點(diǎn)的幾何特性,，雙曲晶格的有效0維角點(diǎn)對(duì)應(yīng)于具有不同耦合方式的最外層格點(diǎn)間的有效界面(如圖3i所示)。圖3b和3c展示了利用數(shù)值對(duì)角化方法計(jì)算的雙曲能譜和相應(yīng)本征態(tài)的空間分布,?？梢钥吹诫p曲零能模的概率分布局域在最外層的0維格點(diǎn)上，展現(xiàn)了高階拓?fù)浣菓B(tài)的特性,。同時(shí),，除了零能模，在另外兩個(gè)能量附近也存在雙曲高階角態(tài),?？梢园l(fā)現(xiàn)與歐氏空間的高階角態(tài)性質(zhì)相似，雙曲高階角態(tài)也總是出現(xiàn)在雙曲邊界態(tài)的帶隙中,。研究人員從三個(gè)方面進(jìn)一步對(duì)高階零模的拓?fù)湫再|(zhì)進(jìn)行了證明,。首先，通過(guò)改變二值化耦合強(qiáng)度的相對(duì)關(guān)系,，雙曲能譜發(fā)生了帶隙閉合再打開(kāi)的過(guò)程,。同時(shí),，該過(guò)程伴隨著雙曲高階零能模從無(wú)到有的變化過(guò)程，是拓?fù)湎嘧兊闹匾卣?。其次，雙曲高階拓?fù)鋺B(tài)具有與C6-高階拓?fù)浣^緣體相同的拓?fù)湎嘧兲攸c(diǎn),。最后,，通過(guò)引入無(wú)序可以發(fā)現(xiàn)雙曲高階零能角態(tài)具有很強(qiáng)的魯棒性，這與雙曲晶格中由干涉引起的局域化效應(yīng)顯著不同,。另外研究人員計(jì)算了不同尺寸下的雙曲能譜和本征態(tài)的分布,，如圖3d-3g所示。圖3h給出了雙曲零能模的數(shù)量與雙曲晶格尺寸的關(guān)系,?？梢钥吹酵ㄟ^(guò)增大雙曲晶格的尺寸，雙曲零能模式的數(shù)量也急劇增加,。該現(xiàn)象與分形幾何結(jié)構(gòu)中的高階拓?fù)浣菓B(tài)相似,。需要強(qiáng)調(diào)的是，這一新奇的現(xiàn)象是源于雙曲晶格獨(dú)特的邊界響應(yīng),，即邊界格點(diǎn)的數(shù)目隨雙曲晶格層數(shù)的增加而呈現(xiàn)指數(shù)增長(zhǎng)的趨勢(shì),，使得邊界有效0維角點(diǎn)也具有指數(shù)增長(zhǎng)的特點(diǎn)。
為了在實(shí)驗(yàn)上觀察雙曲高階零能角態(tài),，研究人員設(shè)計(jì)并制備了相應(yīng)的雙曲電路網(wǎng)絡(luò),，如圖4a所示。圖4b和4c分別對(duì)應(yīng)實(shí)驗(yàn)測(cè)量和理論仿真的電路阻抗結(jié)果,?？梢钥吹诫p曲晶格的邊界點(diǎn)在藍(lán)色區(qū)域所對(duì)應(yīng)的頻率范圍內(nèi)有顯著的阻抗峰值，而體點(diǎn)在相應(yīng)頻率范圍沒(méi)有阻抗響應(yīng),，表明雙曲邊界態(tài)存在于雙曲體態(tài)的帶隙中,。同時(shí)雙曲晶格的角點(diǎn)在紅色區(qū)域內(nèi)有顯著的阻抗峰值，而邊界格點(diǎn)在該頻率范圍沒(méi)有阻抗峰值,。這一現(xiàn)象表明雙曲高階角態(tài)存在于雙曲邊界態(tài)的帶隙中,。為了進(jìn)一步展現(xiàn)不同雙曲高階角態(tài)的空間分布，研究人員對(duì)電路的導(dǎo)納矩陣進(jìn)行了重構(gòu),，并利用重構(gòu)的導(dǎo)納矩陣得到了不同雙曲高階角態(tài)的空間分布圖,，如圖4d所示?？梢钥闯鰷y(cè)得的高階角態(tài)分布與雙曲晶格模型的結(jié)果完全一致,。
圖4. 基于雙曲電路網(wǎng)絡(luò)，實(shí)驗(yàn)觀察高階雙曲零能模,。
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