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日前，北理工數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院謝迅副研究員在國際權(quán)威學(xué)術(shù)期刊《Advances in Mathematics》上發(fā)表題為“Conjectures P1-P15 for Coxeter groups with complete graph”的研究論文。該論文證明了Lusztig猜想P1-P15對(duì)完備圖Coxeter群成立。

基于等參數(shù)Hecke代數(shù)的一些已知結(jié)果，Lusztig在上世紀(jì)90年代提出了關(guān)于不等參數(shù)Hecke代數(shù)的KL基、a-函數(shù)的一系列猜想，后來被人們稱為猜想P1-P15。等參數(shù)情形下的猜想P1-P15可以由正性猜想推出；正性猜想已于2014年由Elias和Williamson解決。已知正性猜想僅在等參數(shù)情形下成立，因而，不等參數(shù)情形下的猜想P1-P15目前仍然是一個(gè)重要的公開問題。

謝迅在這篇論文中建立起一種適用于完備圖Coxeter群的證明猜想P1-P15的方法。這種方法的一個(gè)獨(dú)特之處是對(duì)a-函數(shù)進(jìn)行下降歸納，新發(fā)現(xiàn)的幾個(gè)關(guān)于a-函數(shù)的引理，在完備圖Coxeter群的a函數(shù)的計(jì)算中起到了關(guān)鍵作用，這對(duì)理解一般Coxeter群的a函數(shù)具有重要的意義。這篇文章還給出了完備圖Coxeter群的左、右、雙邊胞腔的簡單刻畫。這項(xiàng)工作是目前關(guān)于猜想P1-P15研究的主要進(jìn)展。

本項(xiàng)工作得到北京理工大學(xué)學(xué)術(shù)啟動(dòng)計(jì)劃和國家自然科學(xué)基金青年項(xiàng)目的資助。

論文鏈接地址：https://doi.org/10.1016/j.aim.2021.107565

附個(gè)人簡介：

謝迅，副研究員，北理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院代數(shù)團(tuán)隊(duì)成員之一，長期從事代數(shù)群、量子群、Hecke代數(shù)的研究，關(guān)于Lusztig猜想P1-P15的多個(gè)特殊情形取得了突破。目前，主持國家自然科學(xué)基金青年項(xiàng)目，已在Advances in Mathematics, International Mathematics Research Notices，Journal of Algebra, Journal of Pure and Applied Algebra上發(fā)表論文數(shù)篇。