北理工課題組在光場調(diào)控和高容量拓撲編碼研究方面取得重要進展
發(fā)布日期：2022-05-18 供稿：物理學院
編輯：王莉蓉 審核：姜艷 閱讀次數(shù)：
日前，北京理工大學物理學院張向東教授課題組和西北工業(yè)大學物理科學與技術(shù)學院的趙建林教授課題組合作，在基于嵌套紐結(jié)結(jié)構(gòu)高容量拓撲編碼研究方面取得重要進展。相關(guān)研究成果發(fā)表在近期的Nature Communications上，研究工作得到了國家自然科學基金委和國家重點研發(fā)計劃的資助。北京理工大學物理學院孔令軍研究員，張蔚暄博士(現(xiàn)集成電路與電子學院特立博士后)和西北工業(yè)大學的李鵬副教授為論文的共同第一作者。
扭結(jié)，是生活中普遍存在的現(xiàn)象。比如，打結(jié)的鞋帶、用于捆綁物體的繩索結(jié)、中國結(jié)、蝴蝶扣等都可看作是扭結(jié)結(jié)構(gòu)。在數(shù)學語言中，紐結(jié)理論是拓撲學的一個分支。它研究的是一個或若干個閉合曲線在三維歐幾里得空間中的嵌入方式。拓撲學中，在不斷開構(gòu)成扭結(jié)的閉合曲線的約束下，如果兩個扭結(jié)可以通過閉合曲線的連續(xù)形變互相轉(zhuǎn)化，那么這兩個扭結(jié)就是拓撲等價的。扭結(jié)的拓撲特性可以用相應(yīng)的拓撲不變量來描述。由于紐結(jié)結(jié)構(gòu)具有獨特的拓撲穩(wěn)定性，它在日常生活以及物理學和生命科學等領(lǐng)域的研究中都扮演著重要的角色。
人們對扭結(jié)結(jié)構(gòu)的使用也有著悠久的歷史。最早可以追溯到遠古的結(jié)繩紀事，它是人類用于記錄信息的原始工具之一。利用數(shù)學語言來研究紐結(jié)是德國數(shù)學家卡爾·弗里德里希·高斯最早提出的。十九世紀末，拓撲學的產(chǎn)生使得紐結(jié)理論成為熱點研究課題。目前，科學家在等離子體、量子與經(jīng)典流體、量子與經(jīng)典場論、液晶、聲波等多種體系中都實現(xiàn)了不同拓撲結(jié)構(gòu)的紐結(jié)。在電磁場系統(tǒng)中，由相位渦旋或偏振奇點構(gòu)成的全光紐結(jié)也在實驗上得到了驗證。近期的研究表明，利用偏振光學紐結(jié)可以實現(xiàn)魯棒的拓撲全光編碼。然而，目前所使用的紐結(jié)結(jié)構(gòu)中只包含了少量的拓撲不變量。因此，基于全光紐結(jié)的拓撲編碼的信息容量仍然十分有限。如何提高拓撲編碼的信息容量亟待進一步地研究。
研究亮點之一：嵌套紐結(jié)概念的提出和紐結(jié)理論的拓展
首先，研究人員理論設(shè)計了具有多拓撲不變量的嵌套式紐結(jié)結(jié)構(gòu)。圖1顯示了構(gòu)建嵌套式紐結(jié)的示意圖。其中，圖1a是該嵌套式紐結(jié)的辮子表示，它包含了由綠色、紅色和藍色標記的三類不同層級的零點線。為了更清楚地顯示嵌套紐結(jié)的層級結(jié)構(gòu)，圖1b展示了起始端面的放大圖。從中我們可以看到，半徑為 r 1的第一代辮子由綠色、紅色和藍色標記的三條第二帶辮子編織而成。同時，三條半徑為 r 2的第二代辮子是由半徑尺寸更小的第三代辮子編織而成。而半徑為 r 3的第三代辮子是由半徑為 r 4的第四代辮子編織而成。通過上述嵌套式的編織方式，最終具有分形幾何結(jié)構(gòu)的嵌套紐結(jié)可以被構(gòu)建出來。如圖1c所示，通過將圖1a中辮子的起始端平面和終點端平面收尾相連，可以實現(xiàn)由四代辮子組成的嵌套紐結(jié)結(jié)構(gòu)。由于這一新型的紐結(jié)結(jié)構(gòu)具有分形式的嵌套結(jié)構(gòu)，研究者稱其為嵌套紐結(jié)(nested knots)。嵌套紐結(jié)這一概念的提出，是對紐結(jié)理論的拓展。
下面給出了嵌套紐結(jié)的簡要數(shù)學描述。需要強調(diào)的是：嵌套紐結(jié)的每一條零點線都需要其所隸屬的不同層級辮子的坐標來整體表示。因此，需要用一組向量來標記每條零點線的位置。具體來講，第 i 代辮子的每條零點線的坐標包含了其所隸屬的第1到第 i 代辮子的標號，即
到
。這樣第 i 帶辮子的每條零點線都可以用長度為 i 的向量
來標記。在辮子表象坐標系
中，向量
所對應(yīng)的第 i 代辮子的零點線可以表示為：
上式中的
表示向量
所對應(yīng)的零點線的初始旋轉(zhuǎn)角度。
被命名為相應(yīng)零點線的繞數(shù)，代表該零點線以其所隸屬的第 l 代辮子的中心軸為參考的環(huán)繞圈數(shù)。由于該環(huán)繞數(shù)不依賴于線條的具體形狀，只由全局環(huán)繞的圈數(shù)決定。因此，繞數(shù)
對應(yīng)于向量
所標記的零點線的拓撲不變量。
圖1. 嵌套紐結(jié)理論設(shè)計示意圖。
研究亮點之二：高容量拓撲編碼的實現(xiàn)
正如圖1a所示，這種新型的嵌套紐結(jié)所對應(yīng)的辮子結(jié)構(gòu)可以包含不同層級的多條零點線。而每一條零點線都蘊含著一個拓撲不變量------繞數(shù)
。研究人員使用這些拓撲不變量作為信息的載體，設(shè)計了具有高容量的拓撲編碼方案，如圖2a所示。首先，信息的發(fā)送者Alice把她要發(fā)送的信息轉(zhuǎn)換為一組繞數(shù)
，并計算繞數(shù)的總和
。然后，Alice選擇一個正整數(shù) α 和一個素數(shù)組
，并用下列等式計算 β
同時，生成一個嵌套結(jié)構(gòu)Nk，并使得Nk中所包含的繞數(shù)的集合正好是
。Alice將( α, β )和Nk實時發(fā)送給信息的接收者Bob。Bob收到這些數(shù)據(jù)后，先根據(jù)
算出
；然后，通過素數(shù)分解得到繞數(shù)
，并進一步獲得Alice要發(fā)送的信息。
該拓撲編碼方案的容量正比于嵌套紐結(jié)中所包含的拓撲不變量的數(shù)目。拓撲不變量的數(shù)量與該嵌套紐結(jié)所包含的辮子結(jié)構(gòu)的代數(shù)的關(guān)系顯示在圖2b中。當嵌套紐結(jié)包含10代辮子，且每一代中的每一條辮子包含10條零點線時，該嵌套紐結(jié)將蘊含有1.11×1010個拓撲不變量。
圖2. 基于嵌套紐結(jié)的高容量拓撲編碼。
研究亮點之三：基于介質(zhì)超表面全光嵌套紐結(jié)產(chǎn)生
進一步，研究人員在實驗上對全光嵌套紐結(jié)進行了驗證。相比于傳統(tǒng)的紐結(jié)結(jié)構(gòu)，嵌套紐結(jié)的空間構(gòu)型更加復雜。因此，在單一波長下構(gòu)造嵌套紐結(jié)變得十分困難。為了解決這一問題，研究人員引入了波長自由度，通過對三個波長的電磁波進行操控實現(xiàn)了全光嵌套紐結(jié)。然而傳統(tǒng)的光學器件很難實現(xiàn)對多波長的獨立操控。為了解決這一難題，研究人員設(shè)計了超表面全息圖(如圖3所示)，對三個頻率的電磁場相位奇點進行了精確的調(diào)控，在實驗上實現(xiàn)了全光嵌套紐結(jié)。圖4a-4c為含有一代辮子的嵌套紐結(jié)的實驗結(jié)果；圖4d-4f為相應(yīng)的理論結(jié)果。圖4g,4h為包含有兩代辮子的嵌套紐結(jié)結(jié)構(gòu)的實驗結(jié)果；圖4i,4j為相應(yīng)的理論結(jié)果。實驗結(jié)果和理論結(jié)果一致，驗證了基于嵌套紐結(jié)的高容量拓撲編碼的可行性。未來通過引入更多頻率的電磁場以及不同的偏振自由度，可以實現(xiàn)具有更多代辮子編織而成的嵌套紐結(jié)結(jié)構(gòu)。從而為設(shè)計全光、高容量、魯棒的編碼方案提供有價值的參考。
圖3. 用于生成光學嵌套紐結(jié)的超表面全息設(shè)計。
圖4. 光學嵌套紐結(jié)的實驗結(jié)果與理論模擬結(jié)果。
論文鏈接為：https://www.nature.com/articles/s41467-022-30381-w。
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