北理工課題組在光場(chǎng)調(diào)控和高容量拓?fù)渚幋a研究方面取得重要進(jìn)展
發(fā)布日期：2022-05-18 供稿：物理學(xué)院
編輯：王莉蓉 審核：姜艷 閱讀次數(shù)：
日前，北京理工大學(xué)物理學(xué)院張向東教授課題組和西北工業(yè)大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院的趙建林教授課題組合作,，在基于嵌套紐結(jié)結(jié)構(gòu)高容量拓?fù)渚幋a研究方面取得重要進(jìn)展,。相關(guān)研究成果發(fā)表在近期的Nature Communications上,，研究工作得到了國家自然科學(xué)基金委和國家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃的資助。北京理工大學(xué)物理學(xué)院孔令軍研究員,，張蔚暄博士(現(xiàn)集成電路與電子學(xué)院特立博士后)和西北工業(yè)大學(xué)的李鵬副教授為論文的共同第一作者,。
扭結(jié)，是生活中普遍存在的現(xiàn)象,。比如,，打結(jié)的鞋帶、用于捆綁物體的繩索結(jié),、中國結(jié),、蝴蝶扣等都可看作是扭結(jié)結(jié)構(gòu)。在數(shù)學(xué)語言中,，紐結(jié)理論是拓?fù)鋵W(xué)的一個(gè)分支,。它研究的是一個(gè)或若干個(gè)閉合曲線在三維歐幾里得空間中的嵌入方式。拓?fù)鋵W(xué)中,，在不斷開構(gòu)成扭結(jié)的閉合曲線的約束下,，如果兩個(gè)扭結(jié)可以通過閉合曲線的連續(xù)形變互相轉(zhuǎn)化，那么這兩個(gè)扭結(jié)就是拓?fù)涞葍r(jià)的。扭結(jié)的拓?fù)涮匦钥梢杂孟鄳?yīng)的拓?fù)洳蛔兞縼砻枋?。由于紐結(jié)結(jié)構(gòu)具有獨(dú)特的拓?fù)浞€(wěn)定性,，它在日常生活以及物理學(xué)和生命科學(xué)等領(lǐng)域的研究中都扮演著重要的角色。
人們對(duì)扭結(jié)結(jié)構(gòu)的使用也有著悠久的歷史,。最早可以追溯到遠(yuǎn)古的結(jié)繩紀(jì)事,，它是人類用于記錄信息的原始工具之一。利用數(shù)學(xué)語言來研究紐結(jié)是德國數(shù)學(xué)家卡爾·弗里德里?！じ咚棺钤缣岢龅?。十九世紀(jì)末，拓?fù)鋵W(xué)的產(chǎn)生使得紐結(jié)理論成為熱點(diǎn)研究課題,。目前,，科學(xué)家在等離子體、量子與經(jīng)典流體,、量子與經(jīng)典場(chǎng)論,、液晶、聲波等多種體系中都實(shí)現(xiàn)了不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的紐結(jié),。在電磁場(chǎng)系統(tǒng)中,，由相位渦旋或偏振奇點(diǎn)構(gòu)成的全光紐結(jié)也在實(shí)驗(yàn)上得到了驗(yàn)證。近期的研究表明,，利用偏振光學(xué)紐結(jié)可以實(shí)現(xiàn)魯棒的拓?fù)淙饩幋a,。然而,，目前所使用的紐結(jié)結(jié)構(gòu)中只包含了少量的拓?fù)洳蛔兞?。因此，基于全光紐結(jié)的拓?fù)渚幋a的信息容量仍然十分有限,。如何提高拓?fù)渚幋a的信息容量亟待進(jìn)一步地研究,。
研究亮點(diǎn)之一：嵌套紐結(jié)概念的提出和紐結(jié)理論的拓展
首先，研究人員理論設(shè)計(jì)了具有多拓?fù)洳蛔兞康那短资郊~結(jié)結(jié)構(gòu),。圖1顯示了構(gòu)建嵌套式紐結(jié)的示意圖,。其中，圖1a是該嵌套式紐結(jié)的辮子表示,，它包含了由綠色,、紅色和藍(lán)色標(biāo)記的三類不同層級(jí)的零點(diǎn)線。為了更清楚地顯示嵌套紐結(jié)的層級(jí)結(jié)構(gòu),，圖1b展示了起始端面的放大圖,。從中我們可以看到，半徑為 r 1的第一代辮子由綠色,、紅色和藍(lán)色標(biāo)記的三條第二帶辮子編織而成,。同時(shí)，三條半徑為 r 2的第二代辮子是由半徑尺寸更小的第三代辮子編織而成。而半徑為 r 3的第三代辮子是由半徑為 r 4的第四代辮子編織而成,。通過上述嵌套式的編織方式,，最終具有分形幾何結(jié)構(gòu)的嵌套紐結(jié)可以被構(gòu)建出來。如圖1c所示,，通過將圖1a中辮子的起始端平面和終點(diǎn)端平面收尾相連,，可以實(shí)現(xiàn)由四代辮子組成的嵌套紐結(jié)結(jié)構(gòu)。由于這一新型的紐結(jié)結(jié)構(gòu)具有分形式的嵌套結(jié)構(gòu),，研究者稱其為嵌套紐結(jié)(nested knots),。嵌套紐結(jié)這一概念的提出，是對(duì)紐結(jié)理論的拓展,。
下面給出了嵌套紐結(jié)的簡(jiǎn)要數(shù)學(xué)描述,。需要強(qiáng)調(diào)的是：嵌套紐結(jié)的每一條零點(diǎn)線都需要其所隸屬的不同層級(jí)辮子的坐標(biāo)來整體表示。因此,，需要用一組向量來標(biāo)記每條零點(diǎn)線的位置,。具體來講，第 i 代辮子的每條零點(diǎn)線的坐標(biāo)包含了其所隸屬的第1到第 i 代辮子的標(biāo)號(hào),，即
到
,。這樣第 i 帶辮子的每條零點(diǎn)線都可以用長(zhǎng)度為 i 的向量
來標(biāo)記。在辮子表象坐標(biāo)系
中,，向量
所對(duì)應(yīng)的第 i 代辮子的零點(diǎn)線可以表示為：
上式中的
表示向量
所對(duì)應(yīng)的零點(diǎn)線的初始旋轉(zhuǎn)角度,。
被命名為相應(yīng)零點(diǎn)線的繞數(shù)，代表該零點(diǎn)線以其所隸屬的第 l 代辮子的中心軸為參考的環(huán)繞圈數(shù),。由于該環(huán)繞數(shù)不依賴于線條的具體形狀,，只由全局環(huán)繞的圈數(shù)決定。因此,，繞數(shù)
對(duì)應(yīng)于向量
所標(biāo)記的零點(diǎn)線的拓?fù)洳蛔兞俊?/p>
圖1. 嵌套紐結(jié)理論設(shè)計(jì)示意圖,。
研究亮點(diǎn)之二：高容量拓?fù)渚幋a的實(shí)現(xiàn)
正如圖1a所示，這種新型的嵌套紐結(jié)所對(duì)應(yīng)的辮子結(jié)構(gòu)可以包含不同層級(jí)的多條零點(diǎn)線,。而每一條零點(diǎn)線都蘊(yùn)含著一個(gè)拓?fù)洳蛔兞?-----繞數(shù)
,。研究人員使用這些拓?fù)洳蛔兞孔鳛樾畔⒌妮d體，設(shè)計(jì)了具有高容量的拓?fù)渚幋a方案,，如圖2a所示,。首先，信息的發(fā)送者Alice把她要發(fā)送的信息轉(zhuǎn)換為一組繞數(shù)
,，并計(jì)算繞數(shù)的總和
,。然后，Alice選擇一個(gè)正整數(shù) α 和一個(gè)素?cái)?shù)組
,，并用下列等式計(jì)算 β
同時(shí),，生成一個(gè)嵌套結(jié)構(gòu)Nk,，并使得Nk中所包含的繞數(shù)的集合正好是
。Alice將( α, β )和Nk實(shí)時(shí)發(fā)送給信息的接收者Bob,。Bob收到這些數(shù)據(jù)后,，先根據(jù)
算出
；然后,，通過素?cái)?shù)分解得到繞數(shù)
,，并進(jìn)一步獲得Alice要發(fā)送的信息。
該拓?fù)渚幋a方案的容量正比于嵌套紐結(jié)中所包含的拓?fù)洳蛔兞康臄?shù)目,。拓?fù)洳蛔兞康臄?shù)量與該嵌套紐結(jié)所包含的辮子結(jié)構(gòu)的代數(shù)的關(guān)系顯示在圖2b中,。當(dāng)嵌套紐結(jié)包含10代辮子，且每一代中的每一條辮子包含10條零點(diǎn)線時(shí),，該嵌套紐結(jié)將蘊(yùn)含有1.11×1010個(gè)拓?fù)洳蛔兞俊?/p>
圖2. 基于嵌套紐結(jié)的高容量拓?fù)渚幋a,。
研究亮點(diǎn)之三：基于介質(zhì)超表面全光嵌套紐結(jié)產(chǎn)生
進(jìn)一步，研究人員在實(shí)驗(yàn)上對(duì)全光嵌套紐結(jié)進(jìn)行了驗(yàn)證,。相比于傳統(tǒng)的紐結(jié)結(jié)構(gòu),，嵌套紐結(jié)的空間構(gòu)型更加復(fù)雜。因此,，在單一波長(zhǎng)下構(gòu)造嵌套紐結(jié)變得十分困難,。為了解決這一問題，研究人員引入了波長(zhǎng)自由度,，通過對(duì)三個(gè)波長(zhǎng)的電磁波進(jìn)行操控實(shí)現(xiàn)了全光嵌套紐結(jié),。然而傳統(tǒng)的光學(xué)器件很難實(shí)現(xiàn)對(duì)多波長(zhǎng)的獨(dú)立操控。為了解決這一難題,，研究人員設(shè)計(jì)了超表面全息圖(如圖3所示),，對(duì)三個(gè)頻率的電磁場(chǎng)相位奇點(diǎn)進(jìn)行了精確的調(diào)控，在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)了全光嵌套紐結(jié),。圖4a-4c為含有一代辮子的嵌套紐結(jié)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,；圖4d-4f為相應(yīng)的理論結(jié)果,。圖4g,4h為包含有兩代辮子的嵌套紐結(jié)結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,；圖4i,4j為相應(yīng)的理論結(jié)果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論結(jié)果一致,，驗(yàn)證了基于嵌套紐結(jié)的高容量拓?fù)渚幋a的可行性,。未來通過引入更多頻率的電磁場(chǎng)以及不同的偏振自由度，可以實(shí)現(xiàn)具有更多代辮子編織而成的嵌套紐結(jié)結(jié)構(gòu),。從而為設(shè)計(jì)全光,、高容量、魯棒的編碼方案提供有價(jià)值的參考,。
圖3. 用于生成光學(xué)嵌套紐結(jié)的超表面全息設(shè)計(jì),。
圖4. 光學(xué)嵌套紐結(jié)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論模擬結(jié)果,。
論文鏈接為：https://www.nature.com/articles/s41467-022-30381-w。
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