北理工在穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子的分類研究方面取得研究成果
發(fā)布日期：2020-12-15 供稿：數(shù)學與統(tǒng)計學院
編輯：陶思遠 審核：田玉斌 閱讀次數(shù)：
日前，北京理工大學數(shù)學與統(tǒng)計學院鄧宇星教授在國際頂級學術期刊《Journal of the European Mathematical Society》發(fā)表題為“Higher dimensional steady Ricci solitons with linear curvature decay”的研究論文。該論文證明了當維數(shù)不小于4時，數(shù)量曲率線性衰減并且具有非負曲率算子的體積非塌縮穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子必然旋轉(zhuǎn)對稱。也就是說，這類孤立子或者同構(gòu)于歐式空間，或者同構(gòu)于Bryant孤立子。當維數(shù)為4時，曲率算子非負條件可以減弱成截面曲率非負。
2002年至2003年，Perelman (Fields獎得主)引入里奇流解決了具有一百多年歷史的三維 Poincare 猜想以及更加廣泛的幾何化猜想。在他的證明中，奇性分析起著至關重要的作用。如何推廣Perelman的工作以研究四維流形的幾何與拓撲成為大家關心的問題。然而，四維里奇流的奇點更加復雜。Freedman（Fields獎得主）和Bennett Chow等數(shù)學家猜測四維里奇流的奇點分類可歸結(jié)為穩(wěn)態(tài)型孤立子（steady Ricci soliton）和收縮型里奇孤立子（shrinking Ricci soliton）的分類。關于穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子，Perelman在他解決三維 Poincare 猜想的論文提出過一個有名的猜測。這個猜測是說，三維非平凡且體積非塌縮的穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子必然旋轉(zhuǎn)對稱，即必然是Bryant孤立子。2012年，Simon Brendle（Bocher獎得主）證明了此猜測。對于更高維數(shù)的穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子，Brendle在漸近柱狀結(jié)構(gòu)條件下證明了具有正截面曲率的孤立子的旋轉(zhuǎn)對稱性。Brendle所引入的漸近柱狀條件由數(shù)量曲率線性衰減和降維條件兩部分組成。降維假設的定義比較復雜。當維數(shù)為3時，體積非塌縮條件可以推出曲率線性衰減和降維條件。但是，當維數(shù)為4時，在正曲率條件下，體積非塌縮條件能否推出曲率線性衰減和降維條件仍然是未知的。里奇流著名專家Hamilton（Veblen獎得主）猜測存在四維體積非塌縮的具有正曲率算子的穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子，且該孤立子沒有曲率衰減。也就是說，他認為曲率衰減條件不能去掉。
鄧宇星與北京大學朱小華教授（陳省身數(shù)學獎得主）證明了在維數(shù)大于或等于4時，數(shù)量曲率線性衰減并且具有非負曲率算子的體積非塌縮穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子必然旋轉(zhuǎn)對稱。當維數(shù)為4時，曲率算子非負條件可以減弱成截面曲率非負。由于里奇流奇點分析中出現(xiàn)的孤立子都自動滿足體積非塌縮條件，大家更關心滿足體積非塌縮條件的穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子。對于體積非塌縮這類大家最關心的孤立子，鄧宇星等人的分類結(jié)果去掉了Brendle定理中的降維假設，本質(zhì)地改進了Brendle的工作。《Journal of the European Mathematical Society》期刊的審稿人一致評價該結(jié)果為目前四維和四維以上穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子的最好分類結(jié)果。
這項研究工作是由鄧宇星教授與北京大學朱小華教授合作完成，鄧宇星教授為第一作者，本項工作得到國家自然科學基金的資助。
論文鏈接：https://www.ems-ph.org/journals/show_abstract.php?issn="1435-9855&vol=22&iss=12&rank=7&p403=1
附附研究團隊及個人簡介：
鄧宇星，教授，北理工數(shù)學與統(tǒng)計學院幾何團隊主要成員。本科畢業(yè)于北京師范大學、博士畢業(yè)于北京大學。長期從事微分幾何特別是里奇流的研究工作，于2020年獲得國家優(yōu)秀青年基金（項目號12022101），曾主持國家自然科學基金面上項目等兩項。以第一作者在Journal of the European Mathematical Society 、Mathematische Annalen 、Transactions of the American Mathematical Society、International Mathematics Research Notices、Mathematische Zeitschrift等綜合期刊發(fā)表SCI論文八篇。
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