北理工在穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子的分類研究方面取得研究成果
發(fā)布日期：2020-12-15 供稿：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院
編輯：陶思遠(yuǎn) 審核：田玉斌 閱讀次數(shù)：
日前，北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院鄧宇星教授在國(guó)際頂級(jí)學(xué)術(shù)期刊《Journal of the European Mathematical Society》發(fā)表題為“Higher dimensional steady Ricci solitons with linear curvature decay”的研究論文,。該論文證明了當(dāng)維數(shù)不小于4時(shí),，數(shù)量曲率線性衰減并且具有非負(fù)曲率算子的體積非塌縮穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子必然旋轉(zhuǎn)對(duì)稱,。也就是說,，這類孤立子或者同構(gòu)于歐式空間，或者同構(gòu)于Bryant孤立子,。當(dāng)維數(shù)為4時(shí),，曲率算子非負(fù)條件可以減弱成截面曲率非負(fù)。
2002年至2003年,，Perelman (Fields獎(jiǎng)得主)引入里奇流解決了具有一百多年歷史的三維 Poincare 猜想以及更加廣泛的幾何化猜想,。在他的證明中，奇性分析起著至關(guān)重要的作用,。如何推廣Perelman的工作以研究四維流形的幾何與拓?fù)涑蔀榇蠹谊P(guān)心的問題,。然而，四維里奇流的奇點(diǎn)更加復(fù)雜,。Freedman（Fields獎(jiǎng)得主）和Bennett Chow等數(shù)學(xué)家猜測(cè)四維里奇流的奇點(diǎn)分類可歸結(jié)為穩(wěn)態(tài)型孤立子（steady Ricci soliton）和收縮型里奇孤立子（shrinking Ricci soliton）的分類,。關(guān)于穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子，Perelman在他解決三維 Poincare 猜想的論文提出過一個(gè)有名的猜測(cè),。這個(gè)猜測(cè)是說,，三維非平凡且體積非塌縮的穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子必然旋轉(zhuǎn)對(duì)稱，即必然是Bryant孤立子,。2012年,，Simon Brendle（Bocher獎(jiǎng)得主）證明了此猜測(cè)。對(duì)于更高維數(shù)的穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子,，Brendle在漸近柱狀結(jié)構(gòu)條件下證明了具有正截面曲率的孤立子的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性,。Brendle所引入的漸近柱狀條件由數(shù)量曲率線性衰減和降維條件兩部分組成。降維假設(shè)的定義比較復(fù)雜。當(dāng)維數(shù)為3時(shí),，體積非塌縮條件可以推出曲率線性衰減和降維條件,。但是，當(dāng)維數(shù)為4時(shí),，在正曲率條件下,，體積非塌縮條件能否推出曲率線性衰減和降維條件仍然是未知的。里奇流著名專家Hamilton（Veblen獎(jiǎng)得主）猜測(cè)存在四維體積非塌縮的具有正曲率算子的穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子,，且該孤立子沒有曲率衰減,。也就是說，他認(rèn)為曲率衰減條件不能去掉,。
鄧宇星與北京大學(xué)朱小華教授（陳省身數(shù)學(xué)獎(jiǎng)得主）證明了在維數(shù)大于或等于4時(shí),，數(shù)量曲率線性衰減并且具有非負(fù)曲率算子的體積非塌縮穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子必然旋轉(zhuǎn)對(duì)稱。當(dāng)維數(shù)為4時(shí),，曲率算子非負(fù)條件可以減弱成截面曲率非負(fù),。由于里奇流奇點(diǎn)分析中出現(xiàn)的孤立子都自動(dòng)滿足體積非塌縮條件，大家更關(guān)心滿足體積非塌縮條件的穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子,。對(duì)于體積非塌縮這類大家最關(guān)心的孤立子,，鄧宇星等人的分類結(jié)果去掉了Brendle定理中的降維假設(shè)，本質(zhì)地改進(jìn)了Brendle的工作,?！禞ournal of the European Mathematical Society》期刊的審稿人一致評(píng)價(jià)該結(jié)果為目前四維和四維以上穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子的最好分類結(jié)果。
這項(xiàng)研究工作是由鄧宇星教授與北京大學(xué)朱小華教授合作完成,，鄧宇星教授為第一作者,，本項(xiàng)工作得到國(guó)家自然科學(xué)基金的資助。
論文鏈接：https://www.ems-ph.org/journals/show_abstract.php?issn="1435-9855&vol=22&iss=12&rank=7&p403=1
附附研究團(tuán)隊(duì)及個(gè)人簡(jiǎn)介：
鄧宇星,，教授,，北理工數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院幾何團(tuán)隊(duì)主要成員。本科畢業(yè)于北京師范大學(xué),、博士畢業(yè)于北京大學(xué),。長(zhǎng)期從事微分幾何特別是里奇流的研究工作，于2020年獲得國(guó)家優(yōu)秀青年基金（項(xiàng)目號(hào)12022101）,，曾主持國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目等兩項(xiàng),。以第一作者在Journal of the European Mathematical Society 、Mathematische Annalen ,、Transactions of the American Mathematical Society,、International Mathematics Research Notices、Mathematische Zeitschrift等綜合期刊發(fā)表SCI論文八篇,。
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