北理工胡峻教授在《Transactions of the AMS》上發(fā)表Wey模的基座的研究成果
發(fā)布日期：2018-11-12 供稿：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院
編輯：吳一凡 審核：田玉斌 閱讀次數(shù)：日前，北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院胡峻教授在國(guó)際頂級(jí)學(xué)術(shù)期刊《Transactions of the American Mathematical Society》上發(fā)表了題為“Fayers’conjecture and the socle of cyclotomic Weyl modules”的研究論文。該論文研究了分圓Schur代數(shù)的分圓Weyl模的基座，證明了這些基座中的單模全部都是由Kleshchev多重剖分來參數(shù)化，并在此基礎(chǔ)上證明了英國(guó)代數(shù)學(xué)家Fayers提出的關(guān)于Fock空間典范基的一個(gè)猜想。
分圓Schur代數(shù)涵蓋了A型的Schur代數(shù)以及q-Schur代數(shù)作為它的特殊情形，它們?cè)谂c代數(shù)群、量子群、李型有限群及Hecke代數(shù)相關(guān)的現(xiàn)代李理論中占據(jù)重要的地位。例如無限一般線性群以及A型量子群的多項(xiàng)式表示都可歸結(jié)為Schur代數(shù)與q-Schur代數(shù)的表示，而有限一般線性群的冪幺表示也可歸結(jié)到q-Schur代數(shù)的表示。分圓Weyl模是分圓Schur代數(shù)的一類最基本的表示，后者的每個(gè)不可約模都可以作為某個(gè)分圓Weyl模的單頭，而研究不可約模是分圓Schur代數(shù)的表示理論中的核心問題。
分圓Weyl模的基座是指它們的最大半單子模。胡峻教授的上述論文在一個(gè)一般的“Schur對(duì)”的框架下證明了任意Weyl模的基座中的每個(gè)單模總是所研究代數(shù)的某個(gè)不可分解的投射且內(nèi)射模的（唯一）單頭。胡峻教授把這個(gè)理論應(yīng)用到解決Fayers提出的關(guān)于Fock空間的典范基的一個(gè)猜想。量子仿射sl_{e}在Fock空間上有一個(gè)自然的作用，而Fock空間的某些典范基表成自然基的線性組合時(shí)對(duì)應(yīng)的系數(shù)多項(xiàng)式（LLT多項(xiàng)式）在v="1的賦值恰好是復(fù)數(shù)域上A型Iwahori-Hecke代數(shù)的單模在對(duì)應(yīng)的Specht模中的合成因子重?cái)?shù)，在水平1的情形還能給出復(fù)數(shù)域上q-Schur代數(shù)的單模在對(duì)應(yīng)的Weyl模中的合成因子重?cái)?shù)。因此，理解Fock空間的典范基是一個(gè)非常重要的基本問題，但這些典范基往往很難計(jì)算，目前已有的計(jì)算這些典范基的算法效率都不高。Fayers在2006年計(jì)算這些典范基時(shí)發(fā)現(xiàn)上述系數(shù)多項(xiàng)式有一個(gè)自然的上界，并且猜想這些上界能達(dá)到當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)應(yīng)的多重剖分是Kleshchev多重剖分，他的大量計(jì)算實(shí)例給出了這個(gè)猜想的有力支撐。更為重要的是，一旦這個(gè)猜想成立，將導(dǎo)出計(jì)算典范基的效率更高的算法。利用近年發(fā)展起來的分圓Hecke代數(shù)以及分圓Schur代數(shù)的Z分次表示理論，特別是Brundan-Kleshchev、Stroppel-Webster、Maksimau以及胡峻與Mathas的箭圖Schur代數(shù)理論，他們能夠把上述典范基計(jì)算中出現(xiàn)的LLT多項(xiàng)式與這些代數(shù)的Z分次分解數(shù)聯(lián)系起來，通過這些工具把Fayers猜想的研究歸結(jié)到分圓Weyl模的基座的研究。
這一原創(chuàng)性成果進(jìn)一步增進(jìn)了人們對(duì)于Weyl模中合成因子重?cái)?shù)這一核心問題的理解，該項(xiàng)工作中所使用的Z分次表示理論方法為研究Weyl模中合成因子重?cái)?shù)開辟了新的途徑，其中適用于一般“Schur對(duì)”的框架的Weyl模的基座理論有著廣闊的應(yīng)用前景，例如它能夠應(yīng)用到一些不同的場(chǎng)合包括拋物BGG范疇O、Harish-Chandra雙模理論以及有理Cherednik代數(shù)的表示等。
該項(xiàng)研究工作是胡峻教授與澳大利亞悉尼大學(xué)Andrew Mathas教授（Fellows of the Australian Mathematical Sociey）合作完成，胡峻教授為第一作者，本項(xiàng)工作得到國(guó)家自然科學(xué)基金的資助。
論文鏈接地址：
http://www.ams.org/journals/tran/0000-000-00/S0002-9947-2018-07551-1/home.html
【課題組及負(fù)責(zé)人簡(jiǎn)介】
北理工數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院代數(shù)團(tuán)隊(duì)積極開展實(shí)質(zhì)性國(guó)際合作研究，團(tuán)隊(duì)成員積極開展國(guó)際學(xué)術(shù)交流， 除胡峻教授與澳大利亞悉尼大學(xué)Andrew Mathas教授的長(zhǎng)期合作外，還有如萬金奎教授與美國(guó)弗吉尼亞大學(xué)的王偉強(qiáng)教授（Fellows of the AMS），謝迅博士與澳大利亞悉尼大學(xué)的Geordie Williamson教授（2018年ICM一小時(shí)報(bào)告人），近期代數(shù)團(tuán)隊(duì)又即將引進(jìn)一名目前在悉尼大學(xué)工作的德裔博士。
胡峻，教授，博士生導(dǎo)師，北理工數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院代數(shù)團(tuán)隊(duì)負(fù)責(zé)人。本科、博士均畢業(yè)于華東師范大學(xué)。2004年度入選教育部新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計(jì)劃，曾在德國(guó)Stuttgart大學(xué)做洪堡學(xué)者，在澳大利亞悉尼大學(xué)任高級(jí)研究員與首席研究員。長(zhǎng)期從事代數(shù)群、量子群、Hecke代數(shù)以及李代數(shù)的結(jié)構(gòu)與表示理論的研究工作，主持國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目以及國(guó)家杰出青年科學(xué)基金項(xiàng)目。以第一/通訊作者在Mathematische Annalen、Advances in Mathematics、Proceedings of London Mathematical Society、Journal für die reine und angewandte Mathematik等期刊發(fā)表SCI論文近50余篇。
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