北理工胡峻教授在《Transactions of the AMS》上發(fā)表Wey模的基座的研究成果
發(fā)布日期：2018-11-12 供稿：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院
編輯：吳一凡 審核：田玉斌 閱讀次數(shù)：日前,，北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院胡峻教授在國際頂級學(xué)術(shù)期刊《Transactions of the American Mathematical Society》上發(fā)表了題為“Fayers’conjecture and the socle of cyclotomic Weyl modules”的研究論文,。該論文研究了分圓Schur代數(shù)的分圓Weyl模的基座，證明了這些基座中的單模全部都是由Kleshchev多重剖分來參數(shù)化,，并在此基礎(chǔ)上證明了英國代數(shù)學(xué)家Fayers提出的關(guān)于Fock空間典范基的一個猜想,。
分圓Schur代數(shù)涵蓋了A型的Schur代數(shù)以及q-Schur代數(shù)作為它的特殊情形,，它們在與代數(shù)群,、量子群,、李型有限群及Hecke代數(shù)相關(guān)的現(xiàn)代李理論中占據(jù)重要的地位。例如無限一般線性群以及A型量子群的多項式表示都可歸結(jié)為Schur代數(shù)與q-Schur代數(shù)的表示,，而有限一般線性群的冪幺表示也可歸結(jié)到q-Schur代數(shù)的表示,。分圓Weyl模是分圓Schur代數(shù)的一類最基本的表示,，后者的每個不可約模都可以作為某個分圓Weyl模的單頭，而研究不可約模是分圓Schur代數(shù)的表示理論中的核心問題,。
分圓Weyl模的基座是指它們的最大半單子模,。胡峻教授的上述論文在一個一般的“Schur對”的框架下證明了任意Weyl模的基座中的每個單模總是所研究代數(shù)的某個不可分解的投射且內(nèi)射模的（唯一）單頭,。胡峻教授把這個理論應(yīng)用到解決Fayers提出的關(guān)于Fock空間的典范基的一個猜想,。量子仿射sl_{e}在Fock空間上有一個自然的作用，而Fock空間的某些典范基表成自然基的線性組合時對應(yīng)的系數(shù)多項式（LLT多項式）在v="1的賦值恰好是復(fù)數(shù)域上A型Iwahori-Hecke代數(shù)的單模在對應(yīng)的Specht模中的合成因子重數(shù),，在水平1的情形還能給出復(fù)數(shù)域上q-Schur代數(shù)的單模在對應(yīng)的Weyl模中的合成因子重數(shù)。因此,，理解Fock空間的典范基是一個非常重要的基本問題,，但這些典范基往往很難計算，目前已有的計算這些典范基的算法效率都不高,。Fayers在2006年計算這些典范基時發(fā)現(xiàn)上述系數(shù)多項式有一個自然的上界,，并且猜想這些上界能達(dá)到當(dāng)且僅當(dāng)對應(yīng)的多重剖分是Kleshchev多重剖分，他的大量計算實例給出了這個猜想的有力支撐,。更為重要的是,，一旦這個猜想成立，將導(dǎo)出計算典范基的效率更高的算法,。利用近年發(fā)展起來的分圓Hecke代數(shù)以及分圓Schur代數(shù)的Z分次表示理論,，特別是Brundan-Kleshchev、Stroppel-Webster,、Maksimau以及胡峻與Mathas的箭圖Schur代數(shù)理論,，他們能夠把上述典范基計算中出現(xiàn)的LLT多項式與這些代數(shù)的Z分次分解數(shù)聯(lián)系起來，通過這些工具把Fayers猜想的研究歸結(jié)到分圓Weyl模的基座的研究,。
這一原創(chuàng)性成果進(jìn)一步增進(jìn)了人們對于Weyl模中合成因子重數(shù)這一核心問題的理解,，該項工作中所使用的Z分次表示理論方法為研究Weyl模中合成因子重數(shù)開辟了新的途徑，其中適用于一般“Schur對”的框架的Weyl模的基座理論有著廣闊的應(yīng)用前景,，例如它能夠應(yīng)用到一些不同的場合包括拋物BGG范疇O,、Harish-Chandra雙模理論以及有理Cherednik代數(shù)的表示等。
該項研究工作是胡峻教授與澳大利亞悉尼大學(xué)Andrew Mathas教授（Fellows of the Australian Mathematical Sociey）合作完成,，胡峻教授為第一作者,，本項工作得到國家自然科學(xué)基金的資助。
論文鏈接地址：
http://www.ams.org/journals/tran/0000-000-00/S0002-9947-2018-07551-1/home.html
【課題組及負(fù)責(zé)人簡介】
北理工數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院代數(shù)團(tuán)隊積極開展實質(zhì)性國際合作研究,，團(tuán)隊成員積極開展國際學(xué)術(shù)交流,， 除胡峻教授與澳大利亞悉尼大學(xué)Andrew Mathas教授的長期合作外，還有如萬金奎教授與美國弗吉尼亞大學(xué)的王偉強(qiáng)教授（Fellows of the AMS）,，謝迅博士與澳大利亞悉尼大學(xué)的Geordie Williamson教授（2018年ICM一小時報告人）,，近期代數(shù)團(tuán)隊又即將引進(jìn)一名目前在悉尼大學(xué)工作的德裔博士,。
胡峻，教授,，博士生導(dǎo)師,，北理工數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院代數(shù)團(tuán)隊負(fù)責(zé)人。本科,、博士均畢業(yè)于華東師范大學(xué),。2004年度入選教育部新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計劃，曾在德國Stuttgart大學(xué)做洪堡學(xué)者,，在澳大利亞悉尼大學(xué)任高級研究員與首席研究員,。長期從事代數(shù)群、量子群,、Hecke代數(shù)以及李代數(shù)的結(jié)構(gòu)與表示理論的研究工作,，主持國家自然科學(xué)基金面上項目以及國家杰出青年科學(xué)基金項目。以第一/通訊作者在Mathematische Annalen,、Advances in Mathematics,、Proceedings of London Mathematical Society、Journal für die reine und angewandte Mathematik等期刊發(fā)表SCI論文近50余篇,。
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