北理工朱蓉禪副教授在《The annals of Probability》上發(fā)表?_3^4動(dòng)力模型格點(diǎn)逼近的研究成果
發(fā)布日期：2018-11-19 供稿：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院
編輯：吳一凡 審核：田玉斌 閱讀次數(shù)：
日前,，北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院朱蓉禪副教授在國(guó)際頂級(jí)學(xué)術(shù)期刊《The annals of Probability》上發(fā)表了題為《Lattice approximation to the dynamical 
model》的研究論文,。該研究構(gòu)造了以格點(diǎn)上
場(chǎng)的逼近測(cè)度為不變分布的有限維系統(tǒng)收斂到動(dòng)力模型。 這對(duì)應(yīng)于量子場(chǎng)論中重要的場(chǎng)格點(diǎn)逼近,，由此可以得到
動(dòng)力模型以場(chǎng)為不變測(cè)度。
動(dòng)力模型是對(duì)量子場(chǎng)論中基本模型場(chǎng)提出的隨機(jī)量子化模型,，即構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)偏微分方程即動(dòng)力模型使得當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)方程的解依分布收斂到場(chǎng),。由此運(yùn)用隨機(jī)分析的方法研究場(chǎng)。動(dòng)力模型是一類帶有奇異噪聲的隨機(jī)偏微分方程,，如何在d="3時(shí)給出方程解的適定性是公開(kāi)了很多年的問(wèn)題,。2011年英國(guó)帝國(guó)理工大學(xué)的Hairer教授在中用粗糙路徑理論處理方程解在一維空間的奇異性,并以此構(gòu)造了一維KPZ方程的解,。之后，Hairer教授結(jié)合泰勒展開(kāi)的思想提出了一套新理論：正則結(jié)構(gòu)理論(regularity" structure),，給出了次臨界條件下證明帶有奇異噪聲的隨機(jī)偏微分方程局部適定性的一般方法,，這是隨機(jī)偏微分方程領(lǐng)域的重大發(fā)展。由此證明了動(dòng)力模型局部適定性,。Haire教授因此獲得了2014年Fields獎(jiǎng),。同時(shí)，Gubinelli-Imkeller-Perkowski基于被控制的粗糙路徑(controlled rough path)和調(diào)和分析中的仿積提出了擬控制分布(paracontrolled distribution)的方法,。這個(gè)方法也可以用來(lái)研究奇異的隨機(jī)偏微分方程,。Gubinelli教授也因此受邀在2018年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)作45分鐘報(bào)告。目前,，這兩套方法是隨機(jī)分析領(lǐng)域的重大發(fā)展,。
場(chǎng)的格點(diǎn)逼近是研究和構(gòu)造場(chǎng)的一種重要方法，它保持了測(cè)度的鐵磁本質(zhì)和Osterwalder–Schrader公理,。朱蓉禪副教授在上訴論文中運(yùn)用擬控制分布首先研究了以格點(diǎn)上場(chǎng)的逼近測(cè)度為不變分布的有限維系統(tǒng),。動(dòng)力模型可以看成是三維環(huán)面上的模型，因此要證明收斂性需要將格點(diǎn)系統(tǒng)模型延拓到環(huán)面上進(jìn)行比較,。這時(shí)延拓時(shí)會(huì)產(chǎn)生有限維投影算子,，這個(gè)算子會(huì)導(dǎo)致擬控制分布中非常本質(zhì)的交換子估計(jì)不成立，分析方法無(wú)法運(yùn)用,。這時(shí)朱蓉禪副教授及合作者在論文中將投影算子中余項(xiàng)部分運(yùn)用概率計(jì)算的方法證明了收斂,。
這一結(jié)果進(jìn)一步增進(jìn)了人們對(duì)于場(chǎng)動(dòng)力系統(tǒng)及其格點(diǎn)逼近之間的關(guān)系。既可以用來(lái)聯(lián)系場(chǎng)和動(dòng)力模型,，也可以用來(lái)構(gòu)造與場(chǎng)對(duì)應(yīng)的狄氏型,，由此回答了以場(chǎng)為參考測(cè)度的二次型可閉的公開(kāi)問(wèn)題。
該研究工作由朱蓉禪副教授和北京交通大學(xué)朱湘禪副教授合作完成,。朱蓉禪副教授為本文的第一作者,。本工作得到國(guó)家自然科學(xué)基金的支持。
論文鏈接地址：https://projecteuclid.org/euclid.aop/1517821226
【課題組及負(fù)責(zé)人簡(jiǎn)介】
北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院概率團(tuán)隊(duì)積極開(kāi)展實(shí)質(zhì)性國(guó)際合作研究,，團(tuán)隊(duì)成員積極開(kāi)展國(guó)際學(xué)術(shù)交流,。
朱蓉禪，副教授,，碩士生導(dǎo)師,，本科畢業(yè)于四川大學(xué)、博士是中科院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院與德國(guó)比勒菲爾德大學(xué)聯(lián)合培養(yǎng),。德國(guó)比勒菲爾德大學(xué)訪問(wèn)學(xué)者,。長(zhǎng)期從事隨機(jī)偏微分方程、狄氏型、隨機(jī)分析的研究工作,，先后主持/完成了國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目,、青年項(xiàng)目。以第一/通訊作者在The annals of probability,、Communication in mathematical physics,、Journal of functional analysis、Journal of differential equaitons等期刊發(fā)表SCI論文20余篇,。
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