北理工在有限一般線性群代數(shù)的中心的穩(wěn)定性方面取得研究成果
發(fā)布日期：2019-06-03 供稿：數(shù)學與統(tǒng)計學院
編輯：吳一凡 審核：衡靖 閱讀次數(shù)：日前,，北京理工大學數(shù)學與統(tǒng)計學院萬金奎教授在國際頂級學術期刊《Advances in Mathematics》上發(fā)表題為“Stability of the centers of group algebras of GL_n(q)”的研究論文。該論文研究了有限域F q上的一般線性群（general linear group）GL_n(q)在整數(shù)環(huán)上的群代數(shù)的中心,，首先證明了這些中心子代數(shù)均帶有一個自然濾過（filtration），并進一步證明了這些濾過誘導的分次代數(shù)的結構常數(shù)是不依賴于n的常數(shù),，即論文題目所指的穩(wěn)定性,。
有限域上一般線性群也稱為了A型李型有限群，而李型有限群最初在有限單群的分類中扮演著重要的角色,。同時,，它們與代數(shù)群、Hecke代數(shù)有著密切的聯(lián)系,，在現(xiàn)代李理論和表示理論中占據(jù)重要的地位,。例如，A型Hecke代數(shù)可以看作為A型李型有限群的一個特殊表示的自同態(tài)代數(shù),。 李型有限群的表示理論是一個歷史久遠且對表示理論其他分支有著深刻影響的研究方向,。 在表示論領域，國際上一大批知名學者的研究工作均集中在該研究分支,，其中學者們感興趣的最核心的研究問題是不可約表示和特征標的分類以及刻畫,。
研究一個有限群的不可約表示，首先要解決的問題是該有限群的共軛類,，而共軛類中所有元素的和給出了該群的群代數(shù)的中心的一組基,。由此可見，研究一個有限群的群代數(shù)的中心對研究該群的表示理論有著重要的意義,。例如,，F(xiàn)arahat-Higman最早在研究對稱群的中心時給出了共軛類和對應的結構常數(shù)的具體刻畫，該結果對對稱群的模表示理論中的p-block的刻畫起著關鍵性的作用,。同時,，學者們也建立了Farahat-Higman的研究結果在Hilbert概型中的應用。 對于有限域上一般線性群GL_n(q), 一個可逆矩陣唯一對應著一個由系數(shù)在F_q上除了多項式t之外的 首項系數(shù)為1的不可約多項式f(t)參數(shù)化的一個n的多重劃分,，而兩個可逆矩陣共軛當且僅它們對應著同一個多重劃分,。因此GL_n(q)的共軛類的個數(shù)等于這些特定的多重劃分的個數(shù)。如前所述,，所有共軛類和給出了GL_n(q)在整數(shù)環(huán)上的環(huán)代數(shù)的中心的一組基,，值得關心的問題是這些基元素相應的結構常數(shù)跟n的依賴關系。 在GL_n(q)的情形,，首先GL_n(q)可以自然地看作為GL_{n+1}(q)的子群且GL_n(q)的一個共軛類包含在GL_{n+1}(q)的共軛類中 ,。 同時,，每個F_q上的n階可逆矩陣均為一些初等矩陣的乘積，從而可以定義一個可逆矩陣的長度,，而該長度自然給出了整數(shù)環(huán)上的群代數(shù)Z GL_n(q)的中心的一個濾過,。萬金奎教授和合作者通過引入modified多重劃分給出了所有GL_n(q)的共軛類的不依賴于n的刻畫，并證明了由上述濾過誘導的Z GL_n(q)的中心的分次代數(shù)的結構常數(shù)是不依賴于n的整數(shù),，即乘積保持長度的那些共軛類對應的常數(shù)與n無關,。同時，利用軟件Sage給出的大量計算顯示不保持長度的那些結構常數(shù)與q^n呈多項式的依賴關系,，對此萬金奎教授和合作者在上述論文中給出了相關猜想,。
這一原創(chuàng)性研究成果進一步增進了學者們對于GL_n(q)的中心的理解，為研究GL_n(q)的模表示理論和asymtotic表示理論奠定了基礎,，同時有望在幾何表示論中找到應用,。值得指出的是，萬金奎教授已在后續(xù)的研究中將上述研究成果應用在有限域上的仿射群,，辛群和酉群中,，類似地分別建立這些有限群的群代數(shù)中心的穩(wěn)定性。
這項研究工作是由萬金奎教授與美國弗吉尼亞大學Weiqiang Wang教授（Fellow of American Mathematical Society）合作完成,，萬金奎教授為通訊作者,，本項工作得到國家自然科學基金和國家留學基金委的資助。
論文鏈接地址：https://doi.org/10.1016/j.aim.2019.04.026
附研究團隊及個人簡介：
北京理工大學數(shù)學與統(tǒng)計學院代數(shù)團隊積極開展國際合作研究和學術交流,，團隊負責人胡峻教授以及團隊成員魏豐教授,、萬金奎教授,、張杰副教授,、謝迅博士等分別與澳大利亞悉尼大學Andrew Mathas教授（Fellow of Australian Mathematical Society）、巴西Universidade Federal do ABC大學Ivan Kaygorodov教授,、美國弗吉尼亞大學Weiqiang Wang教授,、加拿大Sherbrooke大學Thomas Brüstle教授、悉尼大學Geordie Williamson教授（2018ICM一小時報告人）等建立了長期的合作關系,。最近,，代數(shù)團隊又引進了一名曾在悉尼大學工作的德裔博士。團隊成員分別開展著表示論與李理論,、代數(shù)組合,、簇代數(shù)的交叉研究，表現(xiàn)出強勁的發(fā)展勢頭,。
萬金奎,，教授，北理工數(shù)學與統(tǒng)計學院代數(shù)團隊主要成員,。本科畢業(yè)于北京師范大學,、博士畢業(yè)于美國弗吉尼亞大學,，曾在澳大利亞新南威爾士大學和美國弗吉尼亞大學作訪問學者。長期從事量子群,、Hecke代數(shù),、李代數(shù)的表示理論以及相關的代數(shù)組合理論的研究工作，主持國家自然科學基金面上項目,、青年項目,。以通訊作者在Advances in Mathematics、Proceedings of the London Mathematical Society,、Transactions of the American Mathematical Society,、International Mathematics Research Notices等綜合期刊發(fā)表SCI論文10余篇。
分享到：