北理工在有限一般線性群代數(shù)的中心的穩(wěn)定性方面取得研究成果
發(fā)布日期：2019-06-03 供稿：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院
編輯：吳一凡 審核：衡靖 閱讀次數(shù)：日前，北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院萬金奎教授在國際頂級學(xué)術(shù)期刊《Advances in Mathematics》上發(fā)表題為“Stability of the centers of group algebras of GL_n(q)”的研究論文,。該論文研究了有限域F q上的一般線性群（general linear group）GL_n(q)在整數(shù)環(huán)上的群代數(shù)的中心,，首先證明了這些中心子代數(shù)均帶有一個自然濾過（filtration），并進(jìn)一步證明了這些濾過誘導(dǎo)的分次代數(shù)的結(jié)構(gòu)常數(shù)是不依賴于n的常數(shù),，即論文題目所指的穩(wěn)定性,。
有限域上一般線性群也稱為了A型李型有限群，而李型有限群最初在有限單群的分類中扮演著重要的角色,。同時,，它們與代數(shù)群、Hecke代數(shù)有著密切的聯(lián)系,，在現(xiàn)代李理論和表示理論中占據(jù)重要的地位,。例如，A型Hecke代數(shù)可以看作為A型李型有限群的一個特殊表示的自同態(tài)代數(shù),。 李型有限群的表示理論是一個歷史久遠(yuǎn)且對表示理論其他分支有著深刻影響的研究方向,。 在表示論領(lǐng)域，國際上一大批知名學(xué)者的研究工作均集中在該研究分支,，其中學(xué)者們感興趣的最核心的研究問題是不可約表示和特征標(biāo)的分類以及刻畫,。
研究一個有限群的不可約表示，首先要解決的問題是該有限群的共軛類,，而共軛類中所有元素的和給出了該群的群代數(shù)的中心的一組基,。由此可見，研究一個有限群的群代數(shù)的中心對研究該群的表示理論有著重要的意義,。例如,，F(xiàn)arahat-Higman最早在研究對稱群的中心時給出了共軛類和對應(yīng)的結(jié)構(gòu)常數(shù)的具體刻畫，該結(jié)果對對稱群的模表示理論中的p-block的刻畫起著關(guān)鍵性的作用,。同時,，學(xué)者們也建立了Farahat-Higman的研究結(jié)果在Hilbert概型中的應(yīng)用。 對于有限域上一般線性群GL_n(q), 一個可逆矩陣唯一對應(yīng)著一個由系數(shù)在F_q上除了多項式t之外的 首項系數(shù)為1的不可約多項式f(t)參數(shù)化的一個n的多重劃分,，而兩個可逆矩陣共軛當(dāng)且僅它們對應(yīng)著同一個多重劃分,。因此GL_n(q)的共軛類的個數(shù)等于這些特定的多重劃分的個數(shù)。如前所述,，所有共軛類和給出了GL_n(q)在整數(shù)環(huán)上的環(huán)代數(shù)的中心的一組基，值得關(guān)心的問題是這些基元素相應(yīng)的結(jié)構(gòu)常數(shù)跟n的依賴關(guān)系,。 在GL_n(q)的情形,，首先GL_n(q)可以自然地看作為GL_{n+1}(q)的子群且GL_n(q)的一個共軛類包含在GL_{n+1}(q)的共軛類中 。 同時,，每個F_q上的n階可逆矩陣均為一些初等矩陣的乘積,，從而可以定義一個可逆矩陣的長度，而該長度自然給出了整數(shù)環(huán)上的群代數(shù)Z GL_n(q)的中心的一個濾過,。萬金奎教授和合作者通過引入modified多重劃分給出了所有GL_n(q)的共軛類的不依賴于n的刻畫,，并證明了由上述濾過誘導(dǎo)的Z GL_n(q)的中心的分次代數(shù)的結(jié)構(gòu)常數(shù)是不依賴于n的整數(shù),，即乘積保持長度的那些共軛類對應(yīng)的常數(shù)與n無關(guān)。同時,，利用軟件Sage給出的大量計算顯示不保持長度的那些結(jié)構(gòu)常數(shù)與q^n呈多項式的依賴關(guān)系,，對此萬金奎教授和合作者在上述論文中給出了相關(guān)猜想。
這一原創(chuàng)性研究成果進(jìn)一步增進(jìn)了學(xué)者們對于GL_n(q)的中心的理解,，為研究GL_n(q)的模表示理論和asymtotic表示理論奠定了基礎(chǔ),，同時有望在幾何表示論中找到應(yīng)用。值得指出的是,，萬金奎教授已在后續(xù)的研究中將上述研究成果應(yīng)用在有限域上的仿射群,，辛群和酉群中，類似地分別建立這些有限群的群代數(shù)中心的穩(wěn)定性,。
這項研究工作是由萬金奎教授與美國弗吉尼亞大學(xué)Weiqiang Wang教授（Fellow of American Mathematical Society）合作完成,，萬金奎教授為通訊作者，本項工作得到國家自然科學(xué)基金和國家留學(xué)基金委的資助,。
論文鏈接地址：https://doi.org/10.1016/j.aim.2019.04.026
附研究團隊及個人簡介：
北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院代數(shù)團隊積極開展國際合作研究和學(xué)術(shù)交流,，團隊負(fù)責(zé)人胡峻教授以及團隊成員魏豐教授、萬金奎教授,、張杰副教授,、謝迅博士等分別與澳大利亞悉尼大學(xué)Andrew Mathas教授（Fellow of Australian Mathematical Society）、巴西Universidade Federal do ABC大學(xué)Ivan Kaygorodov教授,、美國弗吉尼亞大學(xué)Weiqiang Wang教授,、加拿大Sherbrooke大學(xué)Thomas Brüstle教授、悉尼大學(xué)Geordie Williamson教授（2018ICM一小時報告人）等建立了長期的合作關(guān)系,。最近,，代數(shù)團隊又引進(jìn)了一名曾在悉尼大學(xué)工作的德裔博士。團隊成員分別開展著表示論與李理論,、代數(shù)組合,、簇代數(shù)的交叉研究，表現(xiàn)出強勁的發(fā)展勢頭,。
萬金奎,，教授，北理工數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院代數(shù)團隊主要成員,。本科畢業(yè)于北京師范大學(xué),、博士畢業(yè)于美國弗吉尼亞大學(xué)，曾在澳大利亞新南威爾士大學(xué)和美國弗吉尼亞大學(xué)作訪問學(xué)者,。長期從事量子群,、Hecke代數(shù)、李代數(shù)的表示理論以及相關(guān)的代數(shù)組合理論的研究工作，主持國家自然科學(xué)基金面上項目,、青年項目,。以通訊作者在Advances in Mathematics、Proceedings of the London Mathematical Society,、Transactions of the American Mathematical Society,、International Mathematics Research Notices等綜合期刊發(fā)表SCI論文10余篇。
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