北理工在穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子的剛性研究方面取得研究成果
發(fā)布日期：2019-08-30 供稿：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院
編輯：陶思遠(yuǎn) 審核：衡靖 閱讀次數(shù)：
日前,，北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院鄧宇星副研究員在國際頂級學(xué)術(shù)期刊《Mathematische Annalen》在線發(fā)表題為“Rigidity of k-noncollpased steady Kaehler-Ricci solitons”的研究論文,。該論文研究了具有非負(fù)雙全純截面曲率的體積非塌穩(wěn)態(tài)型縮凱勒-里奇孤立子（steady Kaehler-Ricci solitons）的剛性，證明了具有非負(fù)雙全純截面曲率的體積非塌縮凱勒-里奇孤立子必然是平凡的,。作為該定理的應(yīng)用,，論文還證明了長時間存在的凱勒-里奇流必然是體積極大增長的度量所生成的凱勒-里奇流,。
1982年，Hamilton（Veblen獎得主）將里奇流(Ricci flow)引入三維流形的研究,，并且分類了三維具有正里奇曲率的緊流形,。2002年,，Perelman (Fields獎得主)引入里奇流的熵用來分類三維里奇流的奇點(diǎn),，從而解決了具有一百多年歷史的三維 Poincare 猜想以及更加廣泛的幾何化猜想。在Hamilton 和 Perelman等人工作的影響下,，里奇流成為幾何與拓?fù)涞阮I(lǐng)域重要的研究工具,。在里奇流的研究中，奇性分析起著至關(guān)重要的作用,。Hamilton將里奇流的奇點(diǎn)分為三大類,，收縮型孤立子（shrinking Ricci soliton）、穩(wěn)態(tài)型孤立子（steady Ricci soliton）和擴(kuò)散型孤立子（expanding Ricci soliton）,。如何分類這些里奇孤立子則成為里奇流研究中的關(guān)鍵問題,。在Perelman解決三維 Poincare 猜想的論文中，他提出了如下猜測,，三維非平凡且體積非塌縮的穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子必然旋轉(zhuǎn)對稱,，即必然是Bryant孤立子。2012年,，Simon Brendle（Bocher獎得主）證明了該猜測,。由于三維穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子必然具有非負(fù)曲率，且更高維數(shù)存在非平凡且無正曲率的穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子,，因此,，一個自然的問題是，n(>3)維具有正曲率算子(或者截面曲率)的體積非塌縮穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子是否旋轉(zhuǎn)對稱,？對于更高維數(shù)的穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子,，Brendle在漸近柱狀結(jié)構(gòu)的條件下證明了具有正截面曲率的孤立子的旋轉(zhuǎn)對稱性。類似于Perelman的三維猜測,，曹懷東教授(頂級期刊Journal of Differential Geometry執(zhí)行編委)猜測具有正曲率的穩(wěn)態(tài)型凱勒-里奇孤立子必然U(n)對稱,。目前已知的具有正曲率的穩(wěn)態(tài)型凱勒-里奇孤立子都是塌縮的，若曹懷東教授的猜測成立,，則具有正曲率的非塌縮穩(wěn)態(tài)型凱勒-里奇孤立子不存在,。
2018年，鄧宇星副研究員與北京大學(xué)朱小華教授（陳省身數(shù)學(xué)獎得主）證明了具有正截面曲率的非塌縮穩(wěn)態(tài)型凱勒-里奇孤立子不存在,。該結(jié)果已經(jīng)發(fā)表在頂級期刊《Transactions of the American Mathematical Society》,。由于正的雙全純截面曲率弱于正截面曲率，并且在凱勒流形上正的雙全純截面曲率是更加自然的條件,，因而如何將該結(jié)果推廣到正的雙全純截面曲率情形是極其重要的問題,。鄧宇星副研究員與朱小華教授在穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子上得到了一類分裂引理,，從而證明了具有正截面曲率的非塌縮穩(wěn)態(tài)型凱勒-里奇孤立子不存在。該結(jié)果對凱勒-里奇流的分類起了重要作用,。該結(jié)果已在線發(fā)表于頂級期刊《Mathematische Annalen》,。
這項研究工作是由鄧宇星副研究員與北京大學(xué)朱小華教授合作完成，鄧宇星副研究員為第一作者,，本項工作得到國家自然科學(xué)基金的資助,。
論文鏈接地址：https://doi.org/10.1007/s00208-019-01807-6。
附研究團(tuán)隊及個人簡介：
鄧宇星,，副研究員,，北理工數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院幾何團(tuán)隊主要成員。本科畢業(yè)于北京師范大學(xué),、博士畢業(yè)于北京大學(xué),。長期從事微分幾何特別是里奇流的研究工作，主持國家自然科學(xué)基金面上項目(項目號11971056),、青年項目（項目號11701030）,。以第一作者在Mathematische Annalen 、Transactions of the American Mathematical Society,、International Mathematics Research Notices,、Mathematische Zeitschrift等綜合期刊發(fā)表SCI論文六篇。
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