北理工在穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子的剛性研究方面取得研究成果
發(fā)布日期：2019-08-30 供稿：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院
編輯：陶思遠(yuǎn) 審核：衡靖 閱讀次數(shù)：
日前，北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院鄧宇星副研究員在國(guó)際頂級(jí)學(xué)術(shù)期刊《Mathematische Annalen》在線發(fā)表題為“Rigidity of k-noncollpased steady Kaehler-Ricci solitons”的研究論文。該論文研究了具有非負(fù)雙全純截面曲率的體積非塌穩(wěn)態(tài)型縮凱勒-里奇孤立子（steady Kaehler-Ricci solitons）的剛性，證明了具有非負(fù)雙全純截面曲率的體積非塌縮凱勒-里奇孤立子必然是平凡的。作為該定理的應(yīng)用，論文還證明了長(zhǎng)時(shí)間存在的凱勒-里奇流必然是體積極大增長(zhǎng)的度量所生成的凱勒-里奇流。
1982年，Hamilton（Veblen獎(jiǎng)得主）將里奇流(Ricci flow)引入三維流形的研究，并且分類了三維具有正里奇曲率的緊流形。2002年，Perelman (Fields獎(jiǎng)得主)引入里奇流的熵用來(lái)分類三維里奇流的奇點(diǎn)，從而解決了具有一百多年歷史的三維 Poincare 猜想以及更加廣泛的幾何化猜想。在Hamilton 和 Perelman等人工作的影響下，里奇流成為幾何與拓?fù)涞阮I(lǐng)域重要的研究工具。在里奇流的研究中，奇性分析起著至關(guān)重要的作用。Hamilton將里奇流的奇點(diǎn)分為三大類，收縮型孤立子（shrinking Ricci soliton）、穩(wěn)態(tài)型孤立子（steady Ricci soliton）和擴(kuò)散型孤立子（expanding Ricci soliton）。如何分類這些里奇孤立子則成為里奇流研究中的關(guān)鍵問(wèn)題。在Perelman解決三維 Poincare 猜想的論文中，他提出了如下猜測(cè)，三維非平凡且體積非塌縮的穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子必然旋轉(zhuǎn)對(duì)稱，即必然是Bryant孤立子。2012年，Simon Brendle（Bocher獎(jiǎng)得主）證明了該猜測(cè)。由于三維穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子必然具有非負(fù)曲率，且更高維數(shù)存在非平凡且無(wú)正曲率的穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子，因此，一個(gè)自然的問(wèn)題是，n(>3)維具有正曲率算子(或者截面曲率)的體積非塌縮穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子是否旋轉(zhuǎn)對(duì)稱？對(duì)于更高維數(shù)的穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子，Brendle在漸近柱狀結(jié)構(gòu)的條件下證明了具有正截面曲率的孤立子的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性。類似于Perelman的三維猜測(cè)，曹懷東教授(頂級(jí)期刊Journal of Differential Geometry執(zhí)行編委)猜測(cè)具有正曲率的穩(wěn)態(tài)型凱勒-里奇孤立子必然U(n)對(duì)稱。目前已知的具有正曲率的穩(wěn)態(tài)型凱勒-里奇孤立子都是塌縮的，若曹懷東教授的猜測(cè)成立，則具有正曲率的非塌縮穩(wěn)態(tài)型凱勒-里奇孤立子不存在。
2018年，鄧宇星副研究員與北京大學(xué)朱小華教授（陳省身數(shù)學(xué)獎(jiǎng)得主）證明了具有正截面曲率的非塌縮穩(wěn)態(tài)型凱勒-里奇孤立子不存在。該結(jié)果已經(jīng)發(fā)表在頂級(jí)期刊《Transactions of the American Mathematical Society》。由于正的雙全純截面曲率弱于正截面曲率，并且在凱勒流形上正的雙全純截面曲率是更加自然的條件，因而如何將該結(jié)果推廣到正的雙全純截面曲率情形是極其重要的問(wèn)題。鄧宇星副研究員與朱小華教授在穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子上得到了一類分裂引理，從而證明了具有正截面曲率的非塌縮穩(wěn)態(tài)型凱勒-里奇孤立子不存在。該結(jié)果對(duì)凱勒-里奇流的分類起了重要作用。該結(jié)果已在線發(fā)表于頂級(jí)期刊《Mathematische Annalen》。
這項(xiàng)研究工作是由鄧宇星副研究員與北京大學(xué)朱小華教授合作完成，鄧宇星副研究員為第一作者，本項(xiàng)工作得到國(guó)家自然科學(xué)基金的資助。
論文鏈接地址：https://doi.org/10.1007/s00208-019-01807-6。
附研究團(tuán)隊(duì)及個(gè)人簡(jiǎn)介：
鄧宇星，副研究員，北理工數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院幾何團(tuán)隊(duì)主要成員。本科畢業(yè)于北京師范大學(xué)、博士畢業(yè)于北京大學(xué)。長(zhǎng)期從事微分幾何特別是里奇流的研究工作，主持國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目(項(xiàng)目號(hào)11971056)、青年項(xiàng)目（項(xiàng)目號(hào)11701030）。以第一作者在Mathematische Annalen 、Transactions of the American Mathematical Society、International Mathematics Research Notices、Mathematische Zeitschrift等綜合期刊發(fā)表SCI論文六篇。
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