北理工關(guān)于李群SU(p,q)的Hasish-Chandra模的Gelfand-Kirillov維數(shù)取得研究成果
發(fā)布日期：2020-01-10 供稿：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院
編輯：陶思遠(yuǎn) 審核：高偉濤 閱讀次數(shù)：
日前，北理工數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院謝迅副研究員在國(guó)際數(shù)學(xué)頂級(jí)學(xué)術(shù)期刊《International Mathematics Research Notices》上發(fā)表題為“Gelfand–Kirillov Dimensions of Highest Weight Harish-Chandra Modules for SU(p,q)”的研究論文。該論文給出了SU(p,q)的具有最高權(quán)的單模的Gelfand-Kirillov維數(shù)的一個(gè)算法。這個(gè)算法可以用來研究這些單模的Gelfand-Kirillov維數(shù)以及伴隨簇的一些性質(zhì)。
Gelfand-Kirillov維數(shù)是由Gelfand-Kirillov在1966年提出的一個(gè)數(shù)學(xué)概念。現(xiàn)在這個(gè)概念已成為李群李代數(shù)的表示論度量無限維模大小的一個(gè)重要不變量。論文研究的對(duì)象是Hermitian型李群SU(p,q)的最高權(quán)Harish-Chandra模的Gelfand-Kirillov維數(shù)。論文給出了一個(gè)簡(jiǎn)明的直接從最高權(quán)出發(fā)得到Gelfand-Kirillov維數(shù)的算法。應(yīng)用的一個(gè)基本工具是Lusztig 在1984年的一篇文章中簡(jiǎn)略提及的一個(gè)公式，Lusztig的這個(gè)公式給出了某些最高權(quán)模的Gelfand-Kirillov維數(shù)與對(duì)應(yīng)Weyl群的元素的a-函數(shù)的一個(gè)非常漂亮的公式。論文將這個(gè)公式推廣到最一般的形式，用以連接半單李代數(shù)的任意最高權(quán)單模的Gelfand-Kirillov維數(shù)和某些Weyl群元素的a-函數(shù)。
A型李代數(shù)的Weyl群是對(duì)稱群，其a-函數(shù)可以由著名的RSK算法給出。論文的第二個(gè)想法則是通過RSK算法直接作用在最高權(quán)上得到楊圖，進(jìn)而給出a-函數(shù)與Gelfand-Kirillov維數(shù)。這樣可以省去通過最高權(quán)找相對(duì)應(yīng)Weyl群的元素的步驟。
由于SU(p,q)的具有最高權(quán)的Harish-Chandra模的最高權(quán)都是(p,q)-支配的，因此，論文著重研究了A型的具有(p,q)-支配權(quán)的最高權(quán)模的Gelfand-Kirillov維數(shù)。其結(jié)論是這些權(quán)對(duì)應(yīng)的楊圖最多兩列，因此他們對(duì)應(yīng)的最高權(quán)模的Gelfand-Kirillov維數(shù)可以由他們對(duì)應(yīng)楊圖的第二列的長(zhǎng)度所完全確定，并給出了一個(gè)組合模型，解釋如何從(p,q)-支配最高權(quán)直接讀出楊圖第二列的長(zhǎng)度，進(jìn)而得出相應(yīng)Gelfand-Kirillov維數(shù)的一些性質(zhì)。最后，論文重新證明了一些關(guān)于SU(p,q)的酉表示的Gelfand-Kirillov維數(shù)的結(jié)論，并且確定了SU(p,q)的最高權(quán)單模的伴隨簇。
這項(xiàng)研究為Gelfand-Kirillov維數(shù)和伴隨簇的研究引入了新方法，即使用Hecke代數(shù)的a函數(shù)的方法。通過這個(gè)方法，可以引入一些組合的方法來研究與Gelfand-Kirillov維數(shù)和伴隨簇相關(guān)的問題。這為后續(xù)研究工作提供了重要的參考價(jià)值，這是這篇文章的一大亮點(diǎn)。這篇文章的方法可以考慮推廣到其他經(jīng)典型的李群的研究，這里面有許多有意思的問題值得進(jìn)一步探討。特別是關(guān)于BCD型a函數(shù)的組合算法的研究，目前相關(guān)的工作正在研究之中。
該項(xiàng)研究工作是謝迅副研究員與蘇州大學(xué)白占強(qiáng)副教授合作完成，謝迅為通訊作者。本項(xiàng)工作得到北京理工大學(xué)學(xué)術(shù)啟動(dòng)計(jì)劃的資助。
論文鏈接地址： https://doi.org/10.1093/imrn/rnx247
附研究團(tuán)隊(duì)以及個(gè)人簡(jiǎn)介：
北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院代數(shù)團(tuán)隊(duì)積極開展國(guó)際合作研究和學(xué)術(shù)交流，團(tuán)隊(duì)負(fù)責(zé)人胡峻教授以及團(tuán)隊(duì)成員魏豐教授、萬金奎教授、張杰副教授、Michael Ehrig副教授，謝迅博士等與澳大利亞悉尼大學(xué)、巴西Universidade Federal do ABC大學(xué)、美國(guó)弗吉尼亞大學(xué)、加拿大Sherbrooke大學(xué)的研究人員都有合作。團(tuán)隊(duì)成員分別開展表示論與李理論、代數(shù)組合、叢代數(shù)的交叉研究，表現(xiàn)出強(qiáng)勁的發(fā)展勢(shì)頭。
謝迅，副研究員，北理工數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院代數(shù)團(tuán)隊(duì)成員之一。博士畢業(yè)于中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，在北京大學(xué)做博士后研究，后到悉尼大學(xué)訪問一年。長(zhǎng)期從事代數(shù)群、量子群、Hecke代數(shù)的研究。目前，主持國(guó)家自然科學(xué)基金青年項(xiàng)目，已在International Mathematics Research Notices，Journal of Algebra, Journal of Pure and Applied Algebra 上發(fā)表論文4篇。
分享到：