北理工關(guān)于李群SU(p,q)的Hasish-Chandra模的Gelfand-Kirillov維數(shù)取得研究成果
發(fā)布日期：2020-01-10 供稿：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院
編輯：陶思遠(yuǎn) 審核：高偉濤 閱讀次數(shù)：
日前,，北理工數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院謝迅副研究員在國(guó)際數(shù)學(xué)頂級(jí)學(xué)術(shù)期刊《International Mathematics Research Notices》上發(fā)表題為“Gelfand–Kirillov Dimensions of Highest Weight Harish-Chandra Modules for SU(p,q)”的研究論文。該論文給出了SU(p,q)的具有最高權(quán)的單模的Gelfand-Kirillov維數(shù)的一個(gè)算法,。這個(gè)算法可以用來(lái)研究這些單模的Gelfand-Kirillov維數(shù)以及伴隨簇的一些性質(zhì),。
Gelfand-Kirillov維數(shù)是由Gelfand-Kirillov在1966年提出的一個(gè)數(shù)學(xué)概念。現(xiàn)在這個(gè)概念已成為李群李代數(shù)的表示論度量無(wú)限維模大小的一個(gè)重要不變量,。論文研究的對(duì)象是Hermitian型李群SU(p,q)的最高權(quán)Harish-Chandra模的Gelfand-Kirillov維數(shù),。論文給出了一個(gè)簡(jiǎn)明的直接從最高權(quán)出發(fā)得到Gelfand-Kirillov維數(shù)的算法。應(yīng)用的一個(gè)基本工具是Lusztig 在1984年的一篇文章中簡(jiǎn)略提及的一個(gè)公式,，Lusztig的這個(gè)公式給出了某些最高權(quán)模的Gelfand-Kirillov維數(shù)與對(duì)應(yīng)Weyl群的元素的a-函數(shù)的一個(gè)非常漂亮的公式,。論文將這個(gè)公式推廣到最一般的形式，用以連接半單李代數(shù)的任意最高權(quán)單模的Gelfand-Kirillov維數(shù)和某些Weyl群元素的a-函數(shù),。
A型李代數(shù)的Weyl群是對(duì)稱群,，其a-函數(shù)可以由著名的RSK算法給出。論文的第二個(gè)想法則是通過(guò)RSK算法直接作用在最高權(quán)上得到楊圖,，進(jìn)而給出a-函數(shù)與Gelfand-Kirillov維數(shù),。這樣可以省去通過(guò)最高權(quán)找相對(duì)應(yīng)Weyl群的元素的步驟。
由于SU(p,q)的具有最高權(quán)的Harish-Chandra模的最高權(quán)都是(p,q)-支配的,，因此,，論文著重研究了A型的具有(p,q)-支配權(quán)的最高權(quán)模的Gelfand-Kirillov維數(shù)。其結(jié)論是這些權(quán)對(duì)應(yīng)的楊圖最多兩列,，因此他們對(duì)應(yīng)的最高權(quán)模的Gelfand-Kirillov維數(shù)可以由他們對(duì)應(yīng)楊圖的第二列的長(zhǎng)度所完全確定,，并給出了一個(gè)組合模型，解釋如何從(p,q)-支配最高權(quán)直接讀出楊圖第二列的長(zhǎng)度,，進(jìn)而得出相應(yīng)Gelfand-Kirillov維數(shù)的一些性質(zhì),。最后，論文重新證明了一些關(guān)于SU(p,q)的酉表示的Gelfand-Kirillov維數(shù)的結(jié)論,，并且確定了SU(p,q)的最高權(quán)單模的伴隨簇,。
這項(xiàng)研究為Gelfand-Kirillov維數(shù)和伴隨簇的研究引入了新方法，即使用Hecke代數(shù)的a函數(shù)的方法,。通過(guò)這個(gè)方法,，可以引入一些組合的方法來(lái)研究與Gelfand-Kirillov維數(shù)和伴隨簇相關(guān)的問(wèn)題。這為后續(xù)研究工作提供了重要的參考價(jià)值,，這是這篇文章的一大亮點(diǎn),。這篇文章的方法可以考慮推廣到其他經(jīng)典型的李群的研究，這里面有許多有意思的問(wèn)題值得進(jìn)一步探討,。特別是關(guān)于BCD型a函數(shù)的組合算法的研究,，目前相關(guān)的工作正在研究之中。
該項(xiàng)研究工作是謝迅副研究員與蘇州大學(xué)白占強(qiáng)副教授合作完成,，謝迅為通訊作者,。本項(xiàng)工作得到北京理工大學(xué)學(xué)術(shù)啟動(dòng)計(jì)劃的資助,。
論文鏈接地址： https://doi.org/10.1093/imrn/rnx247
附研究團(tuán)隊(duì)以及個(gè)人簡(jiǎn)介：
北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院代數(shù)團(tuán)隊(duì)積極開(kāi)展國(guó)際合作研究和學(xué)術(shù)交流，團(tuán)隊(duì)負(fù)責(zé)人胡峻教授以及團(tuán)隊(duì)成員魏豐教授,、萬(wàn)金奎教授,、張杰副教授、Michael Ehrig副教授,，謝迅博士等與澳大利亞悉尼大學(xué),、巴西Universidade Federal do ABC大學(xué)、美國(guó)弗吉尼亞大學(xué),、加拿大Sherbrooke大學(xué)的研究人員都有合作,。團(tuán)隊(duì)成員分別開(kāi)展表示論與李理論、代數(shù)組合,、叢代數(shù)的交叉研究,，表現(xiàn)出強(qiáng)勁的發(fā)展勢(shì)頭。
謝迅,，副研究員,，北理工數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院代數(shù)團(tuán)隊(duì)成員之一。博士畢業(yè)于中國(guó)科學(xué)院大學(xué),，在北京大學(xué)做博士后研究,，后到悉尼大學(xué)訪問(wèn)一年。長(zhǎng)期從事代數(shù)群,、量子群,、Hecke代數(shù)的研究。目前,，主持國(guó)家自然科學(xué)基金青年項(xiàng)目,，已在International Mathematics Research Notices，Journal of Algebra, Journal of Pure and Applied Algebra 上發(fā)表論文4篇,。
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