北理工取得AED誤差估計(jì),、Eikonal方程正則性和全局結(jié)構(gòu)相關(guān)研究成果
發(fā)布日期：2020-05-15 供稿：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院
編輯：陶思遠(yuǎn) 審核：田玉斌 閱讀次數(shù)：
日前,，北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院溫海瑞老師與合作者在國(guó)際頂級(jí)學(xué)術(shù)期刊《Math.Comp.》及《Arch. Ration. Mech. Anal.》上發(fā)表題為 “Error estimates for the AEDG method to one-dimensional linear convection-diffusion equations”及題為 “Global structure and regularity of solutions to Eikonal equation”的研究論文。
Hamilton-Jacobi（HJ）方程首先在經(jīng)典力學(xué)中提出,，其在動(dòng)態(tài)規(guī)劃,、變分計(jì)算及最優(yōu)控制等方面都有廣泛而深刻的應(yīng)用。該類方程的數(shù)值模擬和理論分析工作一直是研究熱點(diǎn),。數(shù)值計(jì)算方面,，設(shè)計(jì)守恒、相容和高精度的數(shù)值方法是人們關(guān)注的焦點(diǎn),。理論分析方面,，對(duì)于具有超線性、嚴(yán)格凸Hamiltonian的方程的粘性解的性質(zhì)研究相對(duì)完善,，但對(duì)于有幾何Hamiltonian的HJ方程的理論分析幾乎沒有,。
AEDG方法由Iowa State Univ. Prof. Liu Hailiang及博士后M. Pollack首次提出。該方法無(wú)需數(shù)值流通量,，并且是相容和守恒的,。對(duì)線性對(duì)流擴(kuò)散方程，AEDG的穩(wěn)定性在CFL型條件下被證明,。
在此基礎(chǔ)上,溫海瑞老師和Prof.Liu Hailiang創(chuàng)造性的引進(jìn)了兩個(gè)逼近空間,、相應(yīng)的雙線性算子和耦合的全局投影，克服了交替發(fā)展系統(tǒng)中的多項(xiàng)式重合帶來(lái)的困難,，并重新設(shè)計(jì)了經(jīng)典有限元誤差估計(jì)中經(jīng)常用到的對(duì)偶方法,，從而成功的從半離散AEDG格式的能量誤差提升到最優(yōu)的平方誤差。對(duì)于空間離散,，利用任意高階多項(xiàng)式,，設(shè)計(jì)了利用二階Crank-Nicolson及三階Runge-Kutta時(shí)間離散的全離散格式，同時(shí),，在CFL型穩(wěn)定性條件下,，得到了相應(yīng)的最優(yōu)平方誤差階。
除HJ方程之外,，AEDG方法在守恒律,，對(duì)流擴(kuò)散方程計(jì)算中都取得了很好逼近效果。其無(wú)需數(shù)值流通量的特性,，克服了一般DG方法中設(shè)計(jì)穩(wěn)定的流通量的困難,，文章的結(jié)果和新證明方法奠定了AEDG方法收斂性的理論基礎(chǔ)，具有重要意義。
在HJ方程正則性理論方面,，對(duì) Eikonal方程
,，由于對(duì)奇異點(diǎn)限制更弱,，在奇異點(diǎn)之外并不一定和初值具有相同的正則性等特性導(dǎo)致情況極其復(fù)雜,。 同時(shí)，其非光滑,、非嚴(yán)格凸的Hamiltonian為理論分析也帶來(lái)了巨大的挑戰(zhàn),。
溫海瑞老師及合作者利用次微分定義了不可微點(diǎn)處的特征線，同時(shí),，創(chuàng)造性的引入了有效特征及特征終止時(shí)間,，對(duì)于C1和C2初值，給出了奇異點(diǎn)集合的定義,、連通分支的可數(shù)性,，給出了奇異點(diǎn)集合之外解的正則性及全局結(jié)構(gòu)。 審稿人評(píng)價(jià)該結(jié)果彌補(bǔ)了這類特殊HJ方程解的性質(zhì)分析的理論空白,。
論文鏈接：
https://www.ams.org/journals/mcom/2018-87-309/S0025-5718-2017-03226-9/home.html
https://www.esaim-m2an.org/articles/m2an/abs/2018/05/m2an170163/m2an170163.html
https://link.springer.com/article/10.1007/s00205-018-01339-4
附個(gè)人簡(jiǎn)介：
溫海瑞,，講師， 中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院獲得博士學(xué)位,，清華大學(xué)周培源應(yīng)用數(shù)學(xué)中心博士后,。從事Hamilton-Jacobi方程正則性，守恒律大時(shí)間步長(zhǎng)方法,，DG及保結(jié)構(gòu)DG方法理論分析及數(shù)值模擬研究工作,， 已在 Arch. Ration. Mech. Anal. , Math.Comp. 等本領(lǐng)域權(quán)威國(guó)際期刊上發(fā)表論文九篇。
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